Curs metode numerice: Rezolvarea ecuatiilor si a sistemelor de ecuatii algebrice neliniare

Ecuatia implicita: f(x) = 0 (6.1) cu solutii in intervalul [a, b], solutii notate x*i = 1 ... n. Rezolvarea ecuatiei (6.1) presupune determinarea numerelor aproximative x*i care satisfac relatia: | f(x*i) | < e i = 1 ... n (6.2) unde e > 0 este eroarea absoluta impusa asupra valorilor functiei.

Fie un interval mic dar finit [xi , xi+1]. Conditiile ca in acest interval sa se gaseasca o solutie x* sunt date de urmatoarele relatii:

a) solutie simpla

f(xi)· f(xi+1) < 0 (6.3)

in fapt, conditia (6.3) arata ca in intervalul dat se gasesc un numar impar de solutii simple (vezi figura 6.1). Fig 6.1

b) solutie multipla

| f(xi) | < ?

| f(xi+1)) < ?

f '(xi) · f '(xi+1) <0 (6.4)

prin f ' intelegand derivata df/dx.

Situatia este exemplificata grafic in figura 6.2.

Ultima conditie din relatiile (6.4) poate fi scrisa evitand derivatele ca:

[f(xi) - f(xi + ex)]· [f(xi+1 - ex) - f(xi+1)] <0 (6.4 a)

unde ex este o fractiune din intervalul [xi , xi+1].

Dumitru Dragomir 2 Metode numerice – C5, C6

Fig. 6.2

Se constata ca relatiile (6.4) nu garanteaza existenta solutiei multiple (figura 6.2 b si 6.2 c) ci numai posibilitatea ca ele sa existe. La identificarea unor astfel de situatii, analiza va fi efectuata cu ajutorul unor metode mai amanuntite de cautare.

Din cele aratate mai sus rezulta ca dimensiunea intervalului [ xi , xi+1] are o deosebita importanta in evitarea esecurilor in identificarea solutiilor, respectiv cu cat acest interval este mai mic, cu atat situatii de tipul celor din figurile 6.1 b , 6.2 b si 6.2 c vor fi mai putin probabile. Pe de alta parte adoptarea unui interval excesiv de mic mareste mult efortul de calcul si deci implicit timpul de rezolvare al problemei.