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Analiza matematica si ecuatii diferentiale

Publicat: 06 Iun 2010 00:00

Cuprins
1 ELEMENTE DE TEORIA SPATIILOR METRICE 5
1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Elemente de teoria teoria multimilor . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Notiunea de aplicatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 De nitia spatiului metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Multimi de puncte dintr-un spatiu metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Spatii liniare normate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Multimea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Multimi marginite de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Intervale si vecinatati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Spatiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Functii cu valori in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


2 SIRURI SI SERII 19
2.1 Siruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Siruri in spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Principiul contractiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Siruri in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Serii convergente. Proprietati generale . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Serii in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


3 LIMITE DE FUNCTII 39
3.1 Limita unei functii reale de o variabila reala . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Limita intr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Proprietati ale limitei unei functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Limita unei functii vectoriale de o variabila reala . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Limita unei functii de o variabila vectoriala . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


4 FUNCTII CONTINUE 43
4.1 Continuitatea functiilor reale de o variabila reala . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Continuitatea intr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.2 Proprietati ale functiilor continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.3 Continuitatea uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Continuitatea functiilor vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Continuitatea intr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Continuitatea uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


5 DERIVATE SI DIFERENTIALE 49
5.1 Derivata si diferentiala functiilor de o variabila . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1 Derivata si diferentiala unei functii reale de o variabila reala . . . 49
5.1.2 Derivata si diferentiala unei functii vectoriale de o variabila reala 50
5.1.3 Derivate si diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.4 Proprietati ale functiilor derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Derivatele si diferentiala functiilor de n variabile . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.1 Derivatele partiale si diferentiala functiilor reale de n variabile . . 60
5.2.2 Derivate partiale si diferentiala functiilor vectoriale de n variabile 64
5.2.3 Derivate partiale si diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . 65
5.2.4 Derivatele partiale si diferentialele functiilor compuse . . . . . . . 67
5.2.5 Proprietati ale functiilor diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . 71


6 FUNCT II DEFINITE IMPLICIT 75
6.1 Functii de nite implicit de o ecuatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.1 Functii reale de o variabila reala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.2 Functii reale de n variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Functii de nite implicit de un sistem de ecuatii . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Transformari punctuale. Derivarea functiilor inverse . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Dependenta si independenta functionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 Schimbari de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5.1 Schimbarea variabilelor independente . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5.2 Schimbari de variabile independente si functii . . . . . . . . . . . 84


7 EXTREME PENTRU FUNCT II DE MAI MULTE VARIABILE 87
7.1 Puncte de extrem pentru functii de mai multe variabile . . . . . . . . . . 87
7.2 Extreme pentru functii de nite implicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 Extreme conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


8 SIRURI SI SERII DE FUNCT II 95
8.1 Siruri de functii reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1.1 Siruri de functii. Multimea de convergenta . . . . . . . . . . . . . 95
8.1.2 Functia limita a unui sir de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1.3 Convergenta simpla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.4 Convergenta uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.5 Proprietati ale sirurilor uniform convergente . . . . . . . . . . . . 97
8.2 Serii de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2.1 Serii de functii. Multimea de convergenta . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2.2 Convergenta simpla a unei serii de functii . . . . . . . . . . . . . 99
8.2.3 Convergenta uniforma a unei serii de functii . . . . . . . . . . . . 100
8.2.4 Proprietati ale seriilor uniform convergente . . . . . . . . . . . . . 101
8.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.4 Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9 ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENTIALA 107
9.1 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.1.1 Reprezentari analitice regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.1.2 Tangenta si normala la o curba plana . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.1.3 Punctele multiple ale unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.1.4 Elementul de arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.1.5 Cerc osculator. Curbura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.1.6 Interpretarea geometrica a curburii . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.1.7 Infasuratoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . . . . . . . 116
9.1.8 Evoluta unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.1.9 Evolventa unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.1.10 Formulele lui Frenet pentru o curba plana . . . . . . . . . . . . . 119
9.1.11 Ramuri in nite. Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.1.12 Trasarea gra cului unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.2 Curbe in spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.2.1 Reprezentari analitice regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.2.2 Tangenta si planul normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2.3 Elementul de arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2.4 Planul osculator. Reperul lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.2.5 Curbura unei curbe ^n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2.6 Torsiunea unei curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2.7 Formulele lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 Suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3.1 Reprezentari analitice regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3.2 Curbe pe o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3.3 Planul tangent si normala la o suprafata . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3.4 Linii si retele pe o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3.5 Prima forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . . . . . . . 141
9.3.6 A doua forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . . . . . . . 144
9.3.7 Curbura normala. Curburi principale . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10 INTEGRALA RIEMANN SI EXTINDERI 151
10.1 Primitive. Integrala nede nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2 Calculul primitivelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2.1 Integrala sumei si produsului cu o constanta . . . . . . . . . . . . 152
10.2.2 Integrarea prin parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.2.3 Schimbarea de variabila ^n integrala nede nita . . . . . . . . . . . 153
10.2.4 Integrarea prin recurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3 Integrarea functiilor rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.3.1 Integrale reductibile la integrale din functii rationale . . . . . . . 156
10.4 Integrala de nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.4.1 Sume integrale Riemann. Integrabilitate . . . . . . . . . . . . . . 158
10.4.2 Sume Darboux. Criteriu de integrabilitate . . . . . . . . . . . . . 161
10.4.3 Proprietati ale functiilor integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.4.4 Formule de medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4.5 Existenta primitivelor functiilor continue . . . . . . . . . . . . . . 165
10.4.6 Metode de calcul a integralelor de nite . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.5 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.6 Integrale care depind de un parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.6.1 Trecerea la limita sub semnul integral . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.6.2 Derivarea integralelor care depind de un parametru . . . . . . . . 174

11 INTEGRALE CURBILINII 177
11.1 Notiuni de teoria curbelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.2 Lungimea unui arc de curba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.3 Integrale curbilinii de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.4 Integrale curbilinii de tipul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.5 Independenta de drum a integralelor curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.6 Notiuni elementare de teoria c^ampului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.7 Orientarea curbelor si domeniilor plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.8 Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . 186

12 INTEGRALE MULTIPLE 189
12.1 Integrala dubla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.1.1 De nitia integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.1.2 Sume Darboux. Criteriu de integrabilitate . . . . . . . . . . . . . 190
12.1.3 Reducerea integralei duble la integrale simple iterate . . . . . . . 191
12.1.4 Formula lui Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.1.5 Schimbarea de variabile ^n integrala dubla . . . . . . . . . . . . . 195
12.2 Integrale de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.2.1 Notiuni de teoria suprafetelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.2.2 Aria suprafetelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.2.3 Integrala de suprafata de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.2.4 Integrale de suprafata de tipul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . 200
12.2.5 Formula lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
12.3 Integrala tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
12.3.1 De nitia integralei triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
12.3.2 Sume Darboux. Criteriu de integrabilitate . . . . . . . . . . . . . 205
12.3.3 Reducerea integralei triple la integrale iterate . . . . . . . . . . . 207
12.3.4 Formula lui Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.3.5 Schimbarea de variabile in integrala tripla . . . . . . . . . . . . . 209

13 ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE 213
13.1 Ecuatii diferentiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.1.1 Ecuatii diferentiale. Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.1.2 Interpretarea geometrica a unei ecuatii diferentiale de ordinul intaai 215
13.1.3 Conditii initiale. Problema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.1.4 Ecuatii diferentiale explicite, integrabile prin metode elementare . 215
13.1.5 Alte ecuatii de ordinul ^nt^ai, integrabile prin metode elementare . 222
13.1.6 Teorema de existenta si unicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.2 Ecuatii diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.2.1 Solutia generala. Solutii particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.2.2 Integrale intermediare. Integrale prime . . . . . . . . . . . . . . . 230
13.2.3 Conditii initiale. Problema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 231
13.2.4 Ecuatii de ordin superior integrabile prin cuadraturi . . . . . . . . 231
13.2.5 Ecuatii carora li se poate micsora ordinul . . . . . . . . . . . . . . 234

14 ECUAT II SI SISTEME DIFERENTIALE LINIARE 237
14.1 Sisteme diferentiale liniare de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.2 Sisteme diferentiale liniare omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.3 Sisteme diferentiale liniare neomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
14.4 Sisteme diferentiale liniare cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . 243
14.5 Ecuatii diferentiale liniare de ordinul n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
14.6 Ecuatii de ordinul n cu coe cienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . 249
14.6.1 Ecuatia caracteristica are radacini distincte . . . . . . . . . . . . 249
14.6.2 Ecuatia caracteristica are radacini multiple . . . . . . . . . . . . . 250
14.7 Ecuatia lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

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