Definitia 1.1 Fie X o multime nevida. O functie f definita pe X × X si cu valori in X se numeste lege de compozitie interna in X. Notam, pentru ?(x, y) ? X2, f (x, y) = x ? y si se citeste x compus cu y dupa legea ?. Legile de compozitie interne pot avea urmatoarele proprietati: Definitia 1.1 O lege de compozitie interna ” ? ” in X se numeste lege asociativa daca ?(x, y, z) ? X3 avem: (x ? y) ? z = x ? (y ? z).
Definitia 1.2 O lege de compozitie interna ”?” in X se numeste lege cu element neutru
daca ?e ? X astfel incat ?x ? X avem: x ? e = e ? x = x. Elementul e se numeste element
neutru a legii ”?”.
Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o multime si ” ? ” o lege de
compozitie interna in X. Daca ” ? ” admite un element neutru atunci acesta este unic.
Demonstratie.
Presupunem prin absurd ca legea ” ? ” are doua elemente neutre e si e0, e 6= e0 deci
?x ? X : x ? e = e ? x = x, (1.1)
?x ? X : x ? e0 = e0 ? x = x. (1.2)
Pentru x = e0 in (1.1) si x = e in (1.2) obtinem: e0 ? e = e ? e0 = e0 si e ? e0 = e0 ? e = e, de
unde rezulta e = e0.¨
1
2 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL
Definitia 1.3 Daca o lege de compozitie interna ” ? ” in X admite un element neutru e
atunci spunem ca unui element x ? X ii corespunde un element numit element simetric
in raport cu legea ” ? ” daca exista x ? X astfel incat
x ? x = x ? x = e. (1.3)
Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o multime si ” ? ” o lege
de compozitie interna in X asociativa cu elementul neutru e. Daca un element x ? X are
un element simetric in raport cu legea ” ? ”, atunci acest element simetric este unic.
Demonstratie.
Presupunem prin absurd ca elementul x ? X are doua element simetrice x si x0, x 6= x0,
in raport cu legea ” ? ”. Deoarece
x ? x = x ? x = e, x ? x0 = x0 ? x = e
deducem ca x = x ? e = x ? (x ? x0) = (x ? x) ? x0 = e ? x0 = x0.¨
Definitia 1.4 O lege de compozitie interna ” ? ” in X se numeste lege comutativa daca
?(x, y) ? X2 avem x ? y = y ? x.
