Definitie. Fie S o multime nevida si K un corp si fie:
- o lege de compozitie interna (notata aditiv)
- o lege de compozitie externa (notata multiplicativ)
Spunem ca tripletul (S,+,•) este spatiu liniar (sau spatiu vectorial peste corpul K) notat daca:
1. formeaza structura de grup abelian:
2. satisface axiomele:
(elementul unitate din corpul S) astfel incat
Observatie: a)daca K este identic cu R (multimea numerelor reale) sau C (multimea numerelor complexe), atunci spatiul vectorial peste K este real, respectiv complex;
b)elementele lui S se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari.
Exemplu:
Multimea cu operatiile: defineste spatiul vectorial al matricilor de dimensiune mxn peste corpul K, notat (M(m,n;K), +, .)
Caz particular m=1 sau n=1 este al matricilor cu o linie sau o coloana.
Pentru m=1 cu operatiile
Vectorii se numesc vectori linie, iar spatiul vectorial peste corpul K, notat (Kn,+,.) se numeste spatiu aritmetic (pentru K=R spatiul aritmetic real si pentru K=C spatiul aritmetic complex).
Pentru n=1 se obtine analog, spatiul vectorilor coloana.
