Metodele de calcul numeric sunt concepute sa foloseasca numai operatiile aritmetice fundamentale ( + , - , · , / ), pentru a realiza calculele prin algoritmi cat mai apropiati de operatiile elementare ale calculatorului. O buna parte dintre acesti algoritmi se bazeaza pe metoda dezvoltarilor in serie Taylor.
Se cunoaste ca o functie poate fi evaluata intr-un punct x din vecinatatea unui punct x0 utilizand valorile functiei si derivatelor sale din punctul xo cu urmatoarea relatie: ()()()()()()...!2!1!)()(2001000000][+-''+-'+=-=??=xxxfxxxfxfxxkxfxfkkk (3.1)
unde f(k)(xo) reprezinta derivata de ordin k a functiei f in punctul xo.
Din punct de vedere numeric, dezvoltarea in serie infinita de termeni este imposibila. Fie n un numar natural. Evaluarea functiei f(x) se poate face aproximativ prin dezvoltare cu un numar finit n de termeni dupa relatia: ()fxfxkxxExkkknn()()!()[]=-+=?000 (3.2)
unde limita maxima a erorii de metoda este: ()Exfcnxxnnn()()()![]=+-++1011 (3.3)
iar c este o valoare oarecare a argumentului, intre xo si x.
Pe baza celor aratate mai sus, se pot deduce dezvoltarile in serie ale catorva functii uzuale: sin()!!!...xxxxx=-+-+357357 ? x ? R (3.3.1) cos()!!!...xxxx=-+-+1246246 ? x ? R (3.3.2) exp()!!...xxxx=++++12323 ? x ? R (3.3.3)
Orice evaluare numerica prin dezvoltare in serie este posibila numai daca respectiva serie este convergenta, respectiv daca En(x) tinde la 0 (zero) cand n tinde la ? (infinit). Considerand seria ca un sir de valori ai ( ao, a1, a2, ...), suficienta aproximarii se evalueaza prin determinarea celui mai mic numar de termeni din serie (cel mai mic n) care sa respecte conditia:
an
Curs metode numerice: dezvoltari in serie
label
Cursuri
calendar_month
2010-06-01, 00:00
autorenew
2025-09-29, 16:58
history_edu
Dumitru Dragomir
