Interferenta si difractia undelorelectromagnetice3.1 Fenomenul de interferenta. Surse coerente si necoerenteIn descrierea proprietatilor undelor am intalnit diverse situatii in caredoua sau mai multe unde de aceeasi natura se suprapun intr-o anumitaregiune din spatiu sau, in particular, intr-un punct. Conform principiuluisuperpozitiei, bazat pe proprietatea de liniaritate a ecuatiei diferentiale aundelor, perturbatia produsa de mai multe surse la un moment dat intr-unanumit punct din spatiu este suma perturbatiilor produse de fiecare sursain parte; pentru ca acest rezultat sa fie adevarat este necesar ca prezentasimultana a mai multor surse sa nu modifice comportamentul fiecarei sursein parte.Un exemplu de superpozitie este acela descris de fenomenul de batai :doua unde plane armonice cu frecvente diferite, ambele propagandu-se inlungul axei Ox, produc intr-un punct din spatiu o oscilatie nearmonica carese propagain lungul axei Ox cu o viteza diferita de cea a undelor componente.In cazul suprapunerii mai multor unde rezulta un pachet de unde: diferentade faza dintre unde, chiar daca nu este constanta, verifica o anumita lege.In acest capitol vom descrie fenomenele care se produc atunci cand maimulte unde de aceeasi natura se suprapun intr-un punct P din spatiu. Presupunand ca undele sunt armonice si au toate aceeasi frecventa, se va constataca proprietatile ce rezulta prin suprapunerea in P depind de directia depropagare, directia de vibratie si de diferenta de faza dintre diferitele unde.Diferenta de faza dintre doua unde in punctul P contine, in general, doitermeni: o diferenta de faza intrinseca dintre sursele care produc undele si odiferenta de faza legata de diferenta de drum parcurs de fiecare unda de lasursa pana in punctul P, diferenta care poate fi numai geometrica sau poate2sa depinda si de natura fizica a mediului traversat.Atunci cand diferenta de faza dintre doua unde intr-un punct oarecare dinspatiu este constanta in timp, sursele celor doua unde se numesc coerente.Daca, insa, aceasta proprietate nu se verifica (sau se verifica pentru timpifoarte scurti fata de posibilitatile de masurare), sursele se numesc necoerente.Fenomenul de interferenta se refera la acele fenomene de superpozitieobtinute cu unde emise cu doua sau mai multe surse coerente. Posibiliteade a se produce interferenta este o caracteristica generala a marimilor carese propaga sub forma undelor; interferenta este proprie undelor astfel incatobservarea acestui fenomen constitue o dovada a naturii ondulatorii a uneimarimi. Ideea ca lumina se propaga sub forma unei unde a fost acceptatanumai dupa experienta de interferenta facuta de Young in 1801.Tratarea analitica a fenomenului de interferenta se bazeaza pe operatiade sumare a doua marimi care variaza sinusolidal de-a lungul aceleiasi axe,avand aceeasi pulsatie si diferenta de faza constanta, adica coerente. In celece urmeaza vom prezenta doua metode de sumare.Prima metoda se numeste metoda vectoriala sau a vectorilor rotitori sau afazelor. Sa presupunem ca undele se propaga de-a lungul axei Ox, vibreazade-a lungul aceleiasi directii iar punctul P se afla la distanta x1 de sursaprimei unde, respectiv la distanta x2 de sursa celei de-a doua unde; expresiilecelor doua unde in P sunt: 1 = A1 cos(kx1 - !t + '1) = A1 cos(!t - kx1 - '1) = A1 cos(!t + 1) 2 = A2 cos(kx2 - !t + '2) = A2 cos(!t - kx2 - '2) = A2 cos(!t + 2).Constantele '1 si '2 depind numai de surse, in timp ce constantele 1 si 2contin si diferenta de drum dintre cele doua unde. Fiecare oscilatie in P estereprezentata ca proiectia pe axa orizontala a unui vector care se roteste cuviteza unghiulara ! iar suma vectorilor se calculeaza ca proiectia pe aceeasiaxa a rezultantei celor doi vectori (Fig.3.1). Aceasta va avea expresia = 1 + 2 = Acos(!t + ),iar modulul lui A si faza sunt date deA = qA21+ A22+ 2A1A2 cos , = 1 - 2 = '2 - '1 + k(x2 - x2)3.1 (1)tg =A1 sin 1 + A2 cos 2A1 cos 1 + A2 cos 23.2 (2)3Cum intensitatea este proportionala cu patratul amplitudinii, intensitateamasurata in P esteI = I1 + I2 + 2qI1I2 cos .3.3 (3)Notam faptul ca A si I nu depind de semnul lui . In cazul particular in careamplitudinile celor doua unde sunt egale, A1 = A2 = A0, se obtin relatiileA = q2A20(1 + cos ) = 2A0 cos 23.4 (4)tg =sin 1 + sin 2cos 1 + cos 2=sin 1+ 22 cos 1- 22cos 1+ 22 cos 1- 22= tg 1 + 22 ) = 1 + 223.5(5)Folosind relatiile de mai sus, unda rezultanta in P va avea expresia = Acos(!t + ) = 2A0 cos 2cos !t + 1 + 22 == 2A0 cos '1 - '22+k(x2 - x1)2 !cos '1 + '22+k(x2 + x1)2 - !t!, (36.6)iar intensitatea ei, cu I1 = I2 = I0 devineI = 2I0(1 + cos ) = 4I0 cos2 2.3.7 (7)Deci, rezultatul important care se obtine este ca amplitudinea undei rezultantedepinde de diferenta de faza : valoarea maxima se obtine atunci candcele doua unde sunt in faza iar cea minima pentru undele in opozitie de faza.max = 0, 2 , 4 , ... A = A1 + A2 I = I1 + I2 + 2pI1I2amplitudiniegale A = 2A0 I = 4I0min = , 3 , 5 , ... A =
A1 - A2
I=I1 + I2 - 2pI1I2amplitudiniegale A=0 I=0Ce-a de-a doua metoda de sumare a undelor in P se numeste metoda simbolica, utilizeaza numerele complexe dar, in esenta, este similara metodeivectoriale. Folosind aceleasi simboluri ca in metoda de mai sus, se obtine 1=A1ei(!t+ 1) = A1 cos(!t + 1) + iA1 sin(!t + 1), 2=A2ei(!t+ 2) = A2 cos(!t + 2) + iA2 sin(!t + 2), = 1 + 2=(A1ei 1 + A2ei 2)ei!t = [A1 cos 1 + A2 cos 2 ++i(A1 sin 1 + A2 sin 2)]ei!t.4Patratul modulului lui se obtine inmultim cu complexul lui conjugat : = (A1ei 1 + A2ei 2)ei!t(A1e-i 1 + A2e-i 2)e-i!t == A21+ A22+ A1A2 hei( 1- 2) + e-i( 1- 2)i = A21+ A22+ 2A1A2 cos( 1 - 2).Se observa ca rezultatul este identic cu cel obtinut prin prima metoda desumare; acelasi lucru este valabil si pentru faza undei rezultante.Atat metoda vectoriala cat si cea simbolica pot fi folosite pentru sumareaunui numar mai mare de unde emise de surse coerente. Subliniem faptul caambele metode se aplica oscilatiilor cu faze diferite, dar care se propaga de-alungul aceleiasi axe. Asadar, daca undele sunt longitudinale, directiile lor depropagare trebuie sa coincida; daca undele sunt transversale, ele trebuie saoscileze pe aceeasi directie.Observam, in fine, ca maximul sau minimul de interferenta (sau oricarevaloare intermediara) obtinute intr-un punct din spatiu se mentin atata timpcat diferenta de faza ramane constanta: oscilatia rezultanta are intotdeaunaaceeasi amplitudine si aceeasi faza iar intensitatea rezultata ca o medie pemai multe perioade, este constanta. Interferenta, asadar, este un fenomenstationar, o functie de pozitia punctului P in spatiu, dar nu de timp.3.2 Interferenta a doua unde luminoase. Experienta luiYoungIn cazul undelor luminoase, pentru producerea surselor coerente trebuiesa se tina cont de natura acestor tipuri de unde. Sursele de lumina obisnuita,soarele sau lampile cu incandescenta, sunt alcatuite dintr-un numar foartemare de atomi care, osciland cu frecvente de ordinul 0=5 1014Hz, emitunde luminoase; pentru un singur atom, emisia se face in timpul t=10-8ssi nu poate fi monocromatica. Se poate vorbi, mai curand, de un pachet deunde cu lungimea c t ' 3m. Cuminsa raportul dintre intervalul de frecvente=( t)-1 ale pachetului de unde si frecventa 0 este /0 ' 10-7, acestanu poate fi perceput cu instrumente normale de masura. Vom scrie, asadar,unda sub forma E=E0 cos(!0t+'); in intervalul t, directia lui E si faza 'raman constante. Un alt atom se dezexcita, independent de primul, emitandun pachet de unde cu aceiasi E0 si !0, dar cu planul de polarizare si faza 'diferite. Acest lucru este valabil pentru oricare doi atomi care se dezexcita.5Unda emisa de o sursa obisnuita este, deci, rezultanta pachetelor elementareemise de atomi.Asadar, atat undele care provin din doua puncte ale acelorasi surse catsi undele care provin de la doua surse diferite nu sunt coerente si nu producfenomene de interferenta. Intensitatea totala produsa intr-un punct Q de Nsurse de lumina obisnuita se poate calcula folosind relatia IR=NPi=1Ii, sumandintensitatile produse in Q de fiecare sursa in parte.Observam ca intr-un interval de timp de ordinul a 10-8s, timp in careunda emisa de sursa elementara efectueaza 106 oscilatii, doua unde emise dedoi atomi diferiti sunt coerente, cu o diferenta de faza '2 - '1 constantain timp. Acestea pot, asadar, interfera, iar variatiile corespunzatoare deintensitate se pot masura numai daca exista instrumente care au posibilitateade a masura intensitati luminoase in timpi foarte scurti. Un experiment deacest fel a fost efectuat in 1956 de Hanbury Brown si de Twiss, obtinandu-serezultatul asteptat. Daca, insa, instrumentele cu care se masoara intensitatealuminoasa nu au o rezolutie temporala foarte buna, trebuie sa se astepte untimp mult mai mare decat t pentru obtinerea rezultatului. Astfel, timpulfiind lung, se va suprapune interferenta a doua pachete de unde cu o anumitadiferenta de faza ' cu aceea a altor doua pachete avand o alta ', si asamai departe: pozitiile ce corespund unui maxim intr-un anumit caz pot fipozitii de minim intr-un alt caz si, in final, se observa numai o intensitateconstanta.O metoda de a obtine doua sau mai multe surse coerente de lumina constain introducerea in calea fasciculului de lumina a unui ecran opac in care suntfacute N orificii: unda emisa de aceste orificii are diferenta de faza constanta.De fapt, cu acest procedeu un singur pachet de unda genereaza N pachete,toate avand aceleasi caracteristici; procedeul se numeste divizarea frontuluide unda. Sursele secundare au aceeasi faza si aceeasi polarizare; orice variatiede faza a sursei primare se transmite surselor secundare si produce o variatiea planului de polarizare. Cele N orificii devin N surse coerente de luminaobisnuita.Principiul Huygens-Fresnel da o descriere calitativa completa in cazulundelor emise de surse secundare; in particular, amplitudinea este data derelatiadA=Asf( )d = 0f( )d qs,reprezentata schematic in figura 3.26FIG.3.2Experienta lui YoungIn 1801, Young a obtinut pentru prima data in laborator interferenta adoua unde luminoase folosind dispozitivul din figura 3.3.FIG.3.3Un fascicul de lumina monocromatica este incident pe o placa pe care exista un orificiu S0; acesta va reprezenta unda primara in experiment. Undacare iese prin acest orificiu cade pe un ecran opac cu doua deschideri foarteinguste S1 si S2, paralela cu S1 si la egala distanta fata de axa dispozitivului(axa z); cele doua deschideri S1 si S2, reprezinta, practic, doua surse coerente.Lumina emisa de S1 si S2, produce pe un ecran C aflat la distanta L de surse(L d, unde d este distanta dintre surse) o figura vizibila, numita figurade interferenta. Aceasta consta intr-o serie de benzi luminoase si intunecate,paralele cu orificiile, numite franje de interferenta. Franjele luminoase corespundmaximului de intensitate (interferenta constructiva) si sunt obtinutein puncte in care undele sosesc in faza, in timp ce franjele intunecoase corespundminimului de intensitate (interferenta distructiva) si sunt obtinutein punctele in care undele sosesc in opozitie de faza. La intersectia axeidispozitivului cu ecranul se observa o franja luminoasa. In figura 3.4 suntreprezentate franjele de interferenta.FIG.3.4Sa aplicam acum rezultatele obtinute in paragraful precedent pentru acalcula pozitiile maximelor si minimelor de interferenta precum si variatiileintensitatii luminoase pe ecran in functie de distanta x fata de centrul imaginii(figura 3.5)FIG.3.5In ipoteza L d, se poate scrie sin ' tg ' = x/L si, deci,I(x) = 4I1 cos2 dnx 0L3.8 (8)max = m 0nd , x=m 0Lnd , m=0,1,2, ...min = (2m0 + 1) 02nd x=(2m0 + 1) 0L2nd m0=0,1,2, ..3.9 (9)In aceste relatii, 0 este lungimea de unda in vid si=0/n este lungimeade unda in mediul cu indicele de refractie n in care se face experienta.7In dispozitivele interferentiale se cheama franja centrala franja corespunzatoareunei diferente de faza nula; celelalte franje luminoase sunt numerotateincepandde la franja centrala: m=1 se refera la franjele situate de-o parte si de altaa franjei centrale, si asa mai departe. In dispozitivul Young franja centralase afla pe axa sistemului.Deoarece d (d este de ordinul milimetrilor iar de ordinul 10-3m),maximele si minimele de interferenta se succed cu o frecventa foarte mare.Distanta dintre doua maxime succesive este x=0L/d; cunoscandu-se d siL si masurand x se poate determina 0. Young a fost cel care a determinatpentru prima data lungimea de unda a unei radiatii luminoase.Intensitatea maxima Imax=4I1 este constanta pentru diverse franje luminoasedaca intensitatea I1 a fiecarei surse nu depinde de . In realitate,stim ca in expresia intensitatii I1 apare patratul factorului de inclinaref2( ) = 1 + cos 2 !2.Efectul, insa, nu este foarte puternic: pentru=300, f2( ) = 0.87. Unefect cantitativ mult mai pronuntat provine din largimea finita a deschiderilorS1 si S2, care produce o scadere evidenta a intensitatii la cresterea lui . Dinacest motiv, figura de interferenta care se observa va avea un numar limitatde franje de-o parte si de alta a franjei centrale.Datorita naturii undelor electromagnetice care interfera, sunt necesaredoua consideratii. Prima se refera la conditia d L, esentiala pentru observareafranjelor de interferenta atunci cand experienta se face cu luminaobisnuita, nepolarizata. Sa ne amintim ca o unda nepolarizata, asa cum suntcele emise de S1 si S2, se poate descompunein doua unde de egala intensitate,polarizate dupa directii perpendiculare intre ele si pe directia de propagare;sa alegem aceste directii, una perpendiculara pe planul desenului si alta inplanul desenului (figura 3.6)FIG.3.6Pentru a se forma figura de interferenta este necesar ca E1 si E2 ale celordoua unde sa fie polarizati dupa aceeasi directie; acest lucru este intotdeaunaadevarat pentru componentele E1 si E2 perpendiculare pe planul figurii, dareste si pentru componentele din planul figurii numai daca d L.A doua consideratie deriva din faptul ca undele emise de S1 si S2 nu suntunde armonice. Presupunand ca sursa este alcatuita dintr-un singur atom,acesta este un emitator de impulsuri de durata t ' 10-8s si de lungime8 x ' 3m. Pentru a putea observa interferenta intr-un anumit punct alecranului este necesar ca in acel punct sa se suprapuna aproape completcele doua pachete de unde provenite de la S1si S2, si date initial de acelasipachet provenind de la S0; numai in acest mod diferenta de faza si planul depolarizare al celor doua campuri electrice raman constante pe toata duratapropagarii. Aceasta conditie este verificata pana cand diferenta de drumdintre doua unde este mult mai mica decat lungimea x.Ratinamentul ramane valabil si pentru o sursa alcatuita dintr-un numarfoarte mare de atomi din moment ce figura de interferenta este rezultatula numeroase procese elementare, in oricare dintre ele are loc interferenta adoua pachete de unde obtinute dintr-un singur proces de emisie atomica. Dinacest motiv t si x sunt numite timp si lungime de coerenta.In experienta lui Young diferentele de drum sunt egale cu cel mult catevazecimi de lungime de unda astfel incat consideratia de mai sus nu esteesentiala; aceasta este insa importanta in acele dispozitive in care diferentelede drum pot ajunge de ordinul metrului. Experientele de interferenta cudiferente foarte mari de drum intre unde se realizeaza cu lumina laser careare timpi de coerenta de 10-3s si lungimi de coerenta de ordinul sutelor dekilometri.Aplicatii ale metodei YoungMetoda dezvoltata de Young pentru realizarea a doua surse coerente deunde luminoase ce constain folosirea unei singure surse primare siin divizareafrontului sau de unda, a fost utilizata sub mai multe forme. Fara a intrain detalii analitice, vom prezenta la inceput doua dispozitive construite deFresnel. Sursele secumdare sunt obtinute prin reflexie sau prin refractie,si nu prin difractie ca in cazul dispozitivului Young; se obtine o figura deinterferenta si aceasta demonstreza ca fenomenul depinde de coerenta surselorsi nu de modalitatea in care acestea sunt obtinute.1.Oglinzile lui Fresnel(figurea 3.7)FIG.3.7Lumina emisa de o sursa punctiforma S0 cade pe doua oglinzi plane careformeaza intre ele un unghi foarte mic. Exemplul particular in care douaraze ce sosesc in punctul Q arata cum se genereaza diferenta de drum si,deci, diferenta de faza. Este ca si cum lumina ar proveni de la doua imagini9virtuale ale lui S0 date de oglinzi, care indeplinesc rolul de surse coerente deegala intensitate ce interfera in regiunea comuna in care se propaga undelereflecate.De exemplu, daca lumina este monocromatica, figura de interferenta formata din franje luminoase si intunecoase se observa pe un ecran C aflat ladistanta L de planul in care sunt S1si S2; L este mare in comparatie cudistanta d dintre sursele S1 si S2.2.Biprisma Fresnel (figura 3.8)FIG.3.8Doua placi de sticla de sectiune triunghiulara (prisme) sunt alipite de-alungul bazelor. Sursa S0 trimite lumina spre ecranul C si datorita refractieiin prisme, lumina pare ca provine din sursele S1 si S2 care sunt sursele virtualeale sistemului. Atat unghiul dintre varfurile prismelor cat si aperturafasciculului luminos emis de S0 sunt mici. Ecranul este asezat la o distantamare fata de distanta dintre surse. Franjele observate sunt similare aceloraobtinute cu oglinzile lui Fresnel.3.3 Interferenta produsa de N surse coerenteConsideram N surse egale de unde sferice, coerente, asezate de-a lungulunei drepte; sursele se afla la aceeasi distanta d una de alta. Vom studiainterferenta lor la o distanta foarte mare fata de dimensiunea (N - 1)d asistemului de surse. Fie unghiul dintre directia de observatie si normalala dreapta ce contine sursele (figura 3.9); diferenta de faza dintre doua undeemise de doua surse alaturate este=2 d sin in ipoteza in care diferenta de faza intrinseca dintre surse se anuleaza.FIG.3.9Intr-un punct oarecare Q, amplitudinile 1 ale undelor singulare sfericesunt egale deoarece Q se afla la distanta foarte mare fata de sistemul de surse;nu vor avea insa aceleasi faze datorita diferentei de drum. Pentru a calculaampltudinea R vom folosi metoda vectorilor rotitori. Asa cum se observain figura 3.10, amplitudinile singulare sunt dispuse ca laturile unui poligonregulat ce poate fi inscris intr-un cerc cu centrul in O si de raza ; unghiul la10centru care subintinde un singur vector este iar acela care subintinde intregpoligonul cu N laturi este N . Rezulta ca 1=2 sin 2, R=2 sinN 2si, combinand aceste relatii se obtine valoarea amplitudinii rezultante infunctie de amplitudinea 1 a fiecarei surse si de defazajul dintre doua undeemise de surse alaturate: R=1sin N 2sin 23.10 (10)Intensitatea undei rezultante in punctul Q este proportionala cu patratul lui R :IR( ) = I1 sin N 2sin 2 !2= I1 sin N d sin sin d sin !23.11 (11)I1 este intensitatea pe care o unda singulara o produce in punctul Q. Intensitatea(3.11) variaza in functie de unghiul de observatie . Daca=0,directie de-a lungul careia toate undele sunt in faza, intensitatea este maximasi egala cu Imax=N2I1:limx!0sinNxsin x=limx!0N cosNxcos x=N ) R=N 1,IR = N2I1.Aceeasi situatie se repeta ori de cate ori d sin / = , 2 , 3 , ... si putemtrage concluzia ca intensitatea IR are in intervalul 0 /2 un anumitnumar de maxime principale, caracterizate de proprietatea d sin=m ) d sin=m , sin=m d,m = 0, 1, 2, ...3.12 (12)Imax = N2I1, max=N 1.In afara valorilor sin date de relatia (3.12), numitorul din (3.11) nu se maipoate anula. Insa, numaratorul se anuleaza si atunci cand sunt satisfacuteconditiile:N d sin=m0 ) d sin=m0 N , sin=m0 Nd3.13 (13)m0 = 1, 2, ...N - 1,N + 1, ...2N - 1, 2N + 1, ..,11fiind excluse valorile 0,N, 2N, ... pentru care se obtin maximele principale.Intre doua maxime principale se gasesc N - 1 minime in care I=0.Deoarece intensitatea este o functie pozitiva de , intre doua minime vaexi-sta un maxim, numit maxim secundar; in consecinta, intre doua maximeprincipale sunt N - 2 maxime secundare. Pozitiile maximelor secundare seobtin atunci cand numaratorul din relatia (3.11) este 1 sau atunci candN d sin=(2m00 + 1) 2 ) d sin=(2m00 + 1) 2Nsin=(2m00 +1) 2Nd;m00 = 1, 2, ..N -2,N +1, ...2N -2, 2N +13.14 (14)Valoarea intensitatii maximelor secundare esteIm=I1sin 2m00+12N 2=ImaxN2 sin 2m00+12N 2 3.15 (15)In figura 3.11 este reprezentata intensitatea rezultata prin interferenta a 2, 4,8 sau a mai multor surse; distanta d dintre doua surse consecutive si lungimeade unda sunt intotdeauna aceleasi. Figura este simetrica fata de=0.Fig.3.11Sa recapitulam principalele caracteristici ale fenomenului descris in acestparagraf.1. Pozitia maximelor principale, in care este concentrata cea mai mareparte a puterii emise, este determinata de raportul /d si nu depinde denumarul N de surse. Numarul de maxime se obtine din relatia (3.12); acestaeste dat de valoarea cea mai mare a lui m pentru care sin=m /d nu estemai mare decat 1 si nu depinde de N.2. Intensitatea maximelor principale depinde de numarul N de surse sicreste cu acesta conform relatiei Imax=N2I1.3. Amplitudinea unghiulara a maximelor principale scade cu cresterealui N, proprietate evidentiata in figura 3.11. Largimea unghiulara a unuimaxim principal se poate defini ca distanta dintre doua minime alaturatemaximului; din relatia (3.13) se observa ca aceasta definitie corespunde uneicresteri cu doua unitati a lui m0 si, deci, (sin ) =2 Nd3.16 (16)124. Cele N - 1 minime si cele N - 1 maxime secundare cuprinse intredoua maxime principale sunt echidistante in variabila sin ; intervalul dintreun minim si un maxim secundar este /2Nd, intervalul dintre doua extremeconsecutive de acelasi fel este /Nd (figura 3.12).FIG.3.12Intensitatea maximelor secundare descreste ca 1/N2 la cresterea lui N;in practica, pentru N mare, se obtine o anumita intensitate numai pentrumaximele secundare.Analizand fenomenul de interferenta este posibil, in functie de cat de mareeste numarul N de surse, sa obtinem o anumita intensitate numai in uneledirectii, modificand distanta d dintre surse; este vorba, asadar, de emisiedirectionala. Interferenta a doua unde produse de surse coerente conducela o redistribuire a energiei care este concentrata in zonele corespunzatoaremaximelor principale; puterea este intotdeauna NP1, fie ca sursele sunt saunu coerente.Relatia (3.16), care are semnificatia ingustarii maximelor principale lacresterea numarului N de surse, este fundamentala pentru cresterea sensibilitatii masuratorilor efectuate prin metode interferentiale.3.4 Interferomentul MichelsonInterferometrulMichelson este alcatuit din doua oglinziM1 (mobila) siM2(fixa), o lama de sticla M cu o suprafata semireflectatoare si dintr-o a doualama de sticla G, de aceeasi grosime cu M. Un fascicul de lumina provenindde la o sursa indepartata S traverseaza lama M si cade pe suprafata semireflectatoare a acesteia; o parte a fascicului este reflectat spre oglinda M1 iaro alta parte, egala, este transmisa spre oglinda M2 la care ajunge dupa cestrabate lama G. Fasciculele reflectate de oglinzi seintalnesc spre fata semireflectatoare a lui M; fasciculul de la M1, partial transmis si fasciculul de laM2, part ial reflectat, ajung printr-un telescop la observator, unde interfera.Cele doua fascicule sunt coerente deoarece sunt obtinute de la aceeasi sursaprin divizarea amplitudinii (figura .13)FIG 3.13Lama G, numita lama de compensare, face ca ambele raze ce interfera satraverseze aceeasi grosime de sticla, eliminand astfel efectele de dispersie; de13fapt, daca nu ar fi fost G, diferenta de faza dintre cele doua raze ce ar strabategrosimi diferite de sticla ar depinde de lungimea de unda deoarece indicelede refractie depinde de ; in lumina monocromatica nu ar fi indispensabila,insa este folositor ca G sa fie prezenta deoarece astfel diferenta de drum opticdintre raze depinde numai de d1-d2, adica egala cu diferenta dintre brateleinterferometrului.Daca cele doua oglinzi sunt perpendiculare una pe cealalta, efectul observateste echivalent cu acela al unei lame de aer de grosime d=d1 = d2: luminaprovenind de la M2 joaca rolul luminii reflectate pe suprafata inferioaraa lamei iar cea provenind de la M2 a luminii reflectate pe fata superioara alamei. In figura 3.13., lama de aer echivalenta este cea de la M1 la liniaprincipala.In aceasta situatie se vor observa franje circulare de egala inclinare, cucentrul luminos, deoarece nu exista defazaj intre doua raze. Diferenta dedrum r este data de realtia: r=2d cos i=2(d2 - d1) cos i,unde i este unghiul de incidenta al razelor provenite de la sursa.max : 2d cos i=m , cos i=m 2dmin : 2d cos i=(2m0 + 1) 2 cos i(2m0 + 1) 4d.Pentru o anumita valoare d, se observa pozitia unei franje luminoase Fm caracterizata de o valoare i si de numarul m; daca indepartam M1 mentinand-oinsa paralela cu pozitia sa initiala, d creste si pozitia franjei Fm este inlocuitade o alta franja Fm0 , cu m0 > m, in timp ce franja Fm se deplaseaza spreexterior intr-o pozitie caracterizata de o valoare mai mica a lui cos i. Astfel,prin cresterea lui d se pot numara franjele luminoase care trec printr-oanumita pozitie fixata. Numarul franjelor se traduce intr-o masuratoare alungimii deoarece variatia lui d este practic egala cu /2, fiind lungimea deunda a luminii monocromatice utilizate. Eroarea absoluta care se produceprin masurare este de ordinul jumatatii distantei care conduce la deplasareafranjei, adica de ordinul /4.Michelson a folosit aceasta metoda pentru a compara lungimea metruluietalon cu lungimea de unda a unei linii rosi emisa de cadmiu ( = 643.8nm);el a obtinut ca metrul este egal cu 1.5531635 106 , cu o eroare relativade ~3 10-7. In acest mod, Michelson a pus bazele definitiei optice a unitatiide lungime, adoptata definitiv in 1960.14In masuratorile efectuate, Michelson nu a putut sa faca o comparatiedirecta cu metrul etalon; in afara faptului ca trebuiau masurate cam treimilioane de franje, distanta d = 1m este aproximativ egala cu lungimea decoerenta a lungimii normale emise de atomi si nu se poate pastra figura deinterferenta pentru aceasta lungime. Insa, Michelson a masurat o lungimemult mai mica pe care a raportat-o fara a mari eroarea, la lungimea metruluietalon.Un alt rezultat important obtinut cu interferometrul Michelson este verificareafaptului ca viteza luminii nu depinde de sistemul de referinta (experienteleMichelson si Morley, 1887). Presupunem ca drumul MM2 este paralel vitezeipamantului (si, deci, MM1 este perpendicular pe aceasta viteza). Pentru oanumita lungime geome-trica a acestor drumuri se calculeaza care trebuiesa fie figura de interferenta tinand cont de faptul ca viteza c a luminii trebuiesa se compuna cu viteza v a pamantului rezultand, de exemplu, c - vpentru MM2, respectiv c + v pentru M2M; defazajul dintre undele care interfera este determinat introducand valorile vitezei de propagare a luminiicalculate prin compunerea galileana a vitezelor, in ambele brate ale interferometrului.Daca interferometrul este rotit cu 900, se va schimba rolul celordoua drumuri MM2 este MM1 si se va observa o deplasare a franjelor, fiindmodificat defazajul dintre undele care interfera. Deplasarea asteptataa franjelor era de aproximativ jumatate de franja, dar autorii nu au reusitsa observe nici un fel de deplasare. Experienta a fost repetata in diferiteconditii, intotdeauna obtinandu-se acelasi rezultat. Concluzia, formulata deEinstein ca baza a teoriei restranse, a fost ca viteza luminii este aceeasi inorice sistem de referinta inertial.3.5 Difractia undelor electromagneticeDifractia este un fenomen particular de interferenta care se verifica atuncicand o unda intalneste in drumul sau un obstacol sau o apertura. De exemplu,apertura poate fi constituita dintr-un orificiu circular sau dreptunghiularpracticate intr-un ecran opac, un obstacol de forma unui fir, etc. Dincolode obstacole sau de aperturi, undele se propaga in spatiu de-a lungul unordirectii diferite fata de cea de incidenta si vor aparea diferente de drumintre undele care se suprapun intr-un anumit punct; asadar, se pot produce15fenomene de interferenta cu o distribuire a energiei in punctele din spatiu,din care rezulta caracteristicile figurii de difractie.Fenomenele de difractie se pot verifica pentru toate tipurile de unde;acestea se pot observa cu usurinta in cazul undelor pe suprafata unui lichidsau pentru undele sonore, acestea avand lungimile de unda apropiate dimensiunilorobstacolelor sau aperturilor. Mai dificila este observarea acestuifenomen in cazul undelor luminoase din cauza lungimilor mici de unda( = 0.4 0.7m); insa fenomenele si aplicatiile acestora sunt foarte interesante,motiv pentru care ne vom ocupa indeosebi de difractia luminii.Argumentele generale raman valabile pentru orice tip de unde.Difractia a fost observata pentru prima data de Grimaldi, in a douajumatate a secolului al XVII-lea, intr-o epoca dominata de teoria lui Newton.Ipoteza ondulatorie a luminii a fost confirmata numai dupa o alta suta deani, in urma experientelor efectuate de Young si de Fresnel.In figura 3.14 este reprezentata o situatie comuna in care se observadifractia: o unda cade pe un ecran opac pe care se afla un orificiu de dimensiunicomparabile cu lungimea de unda a radiatiei incidente; pe un ecranC se poate observa lumina dupa ce a trecut prin orificiu.FIG 3.14Pentru calculul amplitudinii luminoasein punctul P al ecranului se folosesteprincipiul Huygens-Fresnel -Kirchhoff. Suprafata aperturii este impartita inelemente infinitezimale de arie d, fiecare dintre ele constituid o sursa elementara de unde, cu amplitudinea campului electric data de expresia:dE =Af( )dS, f( ) =1 + cos 2.3.17 (17)Amplitudinea rezultanta in P se obtine prin sumarea vectoriala a tuturorcontributiilor dE provenite de la toate sursele care alcatuiesc orificiul luminos,surse care sunt coerente, in faza daca suprafata orificiului coincide cusuprafata frontului de unda incident (sau cu diferenta de faza constanta inalte cazuri).Daca unda este incidenta pe un obstacol opac, de exemplu pe un disc,pentru calculul amplitudinii undei intr-un punct P dincolo de obstacol seprocedeaza in acelasi mod, considerand suprafata frontului de unda din afaraobstacolului.Dintre modalitatile in care se realizeaza si se observa difractia produsa deaperturi sau de obstacole iluminate, ne vom referi in cele ce urmeaza numaila doua dintre ele, studiate de Fraunhofer, respectiv de Fresnel.16a) Difractia FraunhoferSursa de lumina S si ecranul C se afla la distanta mare de sursa si apertura. Fronturile de unda care ajung pe aceasta sunt plane, la fel sunt sifronturile de unda care ajung in P (figura 3.15).Aceasta reprezentare, care este cea mai simpla de tratat analitic, se realizeaza in laborator cu ajutorul a doua lentile: prima lentila L1 transformaunda sferica provenita de la S intr-o unda plana cu apertura continuta infrontul de unda; cea de-a doua lentila L2 focalizeaza in punctul P razeleprovenite de la apertura.FIG.3.15b) Difractia FresnelSursa S si ecranul C sunt la distanta finita de apertura, fronturile de undanu sunt plane iar razele care sosesc in P nu sunt paralele; aceeasi situatiepoate exista si in cazul unui obstacol oarecare (figura 3.16).FIG.3.16In cele ce urmeaza vom analiza mai intai fenomenele Fraunhofer care,printre altele, sunt interesante pentru construirea instrumetelor optice. Vomstudia apoi si difractia Fresnelin cazuri matematice simple, dar semnificative.3.6 Difractia pe o deschidere dreptunghiulara ingustaAnalizam difractia Fraunhofer considerand un orificiu dreptunghiularingustpracticat pe un ecran opac, de largimea AB = a si lungime L a (figura3.17)FIG 3.17Pe deschiderea dreptunghiulara este incidenta o unda plana cu lungimeade unda si cu frontul de unda paralel cu planul care contine deschiderea.Divizam aceasta deschidere in N fasii paralele de largime y. Fiecare fasieva fi o sursa de unde secundare si va contribui cu amplitudinea E la campul17electric rezultant ER intr-un punct P al ecranului. Contributiile E legatede doua fasii alaturate au diferenta de faza in punctul P egala cu ' =2 y sin .Pentru a calcula ER se procedeaza ca si in cazul a N surse coerente, folosindconstructia poligonului celor N vectori rotitori reprezentand undele care sesuprapun. Acum, insa, N trebuie sa tinda la infinit (sau y sa tinda la zero)iar poligonul devine un arc de cerc cu raza si cu unghiul la centru =2 a sin 3.18 (18)egal cu diferenta de faza dintre doua unde emise de punctele extreme A si Bale deschiderii. Din figura 3.18 rezulta caER = 2 sin 2.FIG.3.18Lungimea arcului de cerc este Emax = si corespunde amplitudiniimaxime care se observa in centrul ecranului, atunci cand = 0 si toateundele emise de fasii singulare sunt in faza. Asadar,ER = f( )Emaxsin /2 /2,expresie in care apare factorul de inclinatie f( ) deoarece toate amplitudinileemise sub un unghi 6= 0 trebuie multiplicate cu f( ).Intensitatea este proportionala cu patratul amplitudinii; folosind relatia(3.18) obtinem:I( ) = Imaxf2( ) sin 2 2 !2= Imaxf( ) sin a sin a sin !23.19 (19)Functia I( ) este reprezentata in figura 3.19 pentru valorile a = 10 , a =5 , a = .Fig.3.19Intensitatea transmisa de deschidere se anuleaza obtinandu-se minime dedifractie atunci cand a sin = m , sin = m a,m = 1, 2, 3, ..3.20 (20)18Primele minime, la stanga si la dreapta maximului central se obtin pentrusin = /a iar marimea (sin ) =2 ase numeste largimea unghiulara a maximului central de difractie. Se observaca pentru a maximul este foarte ingust si efectul difractiei este aproapeneglijabil, dar maximul se largeste daca a scade, tinzand la . Daca a = ,primul si unicul minim se formeaza la = 900 iar daca a < intensitatea nuse anuleaza niciodata; pentru a tot spatiul de dincolo de deschidere esteiluminat.Intre doua minime de intensitate exista un maxim secundar, a caruipozitie se calculeaza cautand maximele functiei sin2 / 2 aflata in expresiaintensitatii. Se obtine conditia tg / , ecuatie transcendenta care se poaterezolva prin metoda grafica (in afara de cazul=0). Aproximatia prin carese considera intensitatea maxima atunci cand sin2( a sin / ) este buna, saucand a sin=(2m0 + 1) 2, sin=(2m0 + 1) 2a,m0 = 1, 2, 3, ...Intensitatea maximelor secundare, neglijand factorul de inclinare rezulta deformaIm0Imax=1h(2m0 + 1) 2 i2 '0.4(2m0 + 1)2 .Pentru primul maxim m0=1 si I1/Imax = 0.045, adica intensitatea estemult mai mica fata de maximul central; pentru m0=2, raportulI2/Imax este0.016, pentru m0=3 este 0.008 si asa mai departe. Valoarea rapoarteloreste si mai scazuta daca se introduce factorul f2( ). Maximele secundare nusunt, asadar, bine observate; daca nu este mult diferita de a, acestea suntdestul de separate de maximul central; daca a maximele secundare suntfoarte aproape de directia=0 si sunt, practic, invizibile.3.7 Reteaua de difractieIn paragraful precedent am analizat difractia Fraunhofer produsa de odes-chidere dreptunghiulara ingusta. In cazul in care dispozitivul contine N19deschideri dreptunghiulare, fiecare de largime a, se realizeaza un sistem deN surse a caror interferenta am analizat-o in paragraful 3.3; acum trebuie saintroducem faptul ca datorita difractiei, intensitatea emisa de fiecare sursaare dependenta decrisa in 3.6.Dispozitivul, numit retea de difractie, se poate realiza trasand linii paralelefoarte subtiri pe o placa de sticla; spatiul care ramane intre doualinii alaturate constituie o deschidere. Distanta d dintre doua deschiderise numeste pasul retelei iar lungimea totala a acesteia este Nd.In figura 3.20 o unda plana de lungime de unda este incidenta normal peo retea de difractie; dupa retea se aseaza o lentila convergenta si se observafigura de interferenta in planul focal al lentilei.FIG 3.20Intensitatea intr-un punct P de pe ecran se poate calcula din relatia (3.11)in care intensitatea I1 ( ) a unei singure deschideri este data de (3.19), adicaI1( ) = I0 sin a sin a sin !2;I0 este intensitatea la=0 si a fost neglijata contributia factorului deinclinare f( ) care nu este importanta pentru analiza pe care o vom face.Asadar, intensitatea in P esteI( ) = I0 sin a sin a sin !2 sin N d sin sin d sin !23.21 (21)Aceasta functie este reprezentata in figura 3.21, cu N=8; in mod uzual,rezultatele sunt sintetizate spunand ca intensiatea figurii de interferenta estemodulata de difractie.FIG. 3.21Caracteristicile intensitatii transmise de o retea de difractie sunt:a) Maximele principale se afla de-a lungul directiilorsin m=m d,m = 0,1,2, ...3.22 (22)b) Distanta unghiulara dintre un maxim principal si minimul alaturatacestuia este (sin ) = Nd=L.20Se poate scrie si relatia (sin ) = cos , deoarece L si, deci, variatiaeste mica. Asadar, largimea unghiulara a unui maxim principal este m=2 =2 L cos m=2 Nd cos m3.23 (23)Din relatia (3.23) se observa ca pentru un N din ce in ce mai mare, franjeleproduse sunt din ce in ce mai inguste.c) Intensitatea franjei centrale (m = 0) creste proportional cu N2; intensitateaaltor maxime este insa micsorata din cauza difractiei. Introducand(3.22) in (3.21) rezulta ca, pentru o valoare m 6=0,Rm =Imax(m)Imax(m = 0)= sinm adm ad !23.24 (24)Raportul Rm depinde de raportul dintre largimea a a deschiderii si de pasulretelei d. In particular, atunci cand un minim de difractie coincide cuun maxim de interferenta, adica atunci cand pentru aceeasi valoare suntsatisfacute conditiiled sin=m ,a sin=ma ,raportul a/d este egal cu ma/m si Rm este zero: nu se obtine maximul deordinul m=ma(d/a). In figura 3.21 conditia de disparitie a unui franje esterealizata cu o buna aproximatie pentru m=4, ma=2 si, deci, in reteaua lacare se refera figura a ' d/2. Subliniem faptul ca figura 3.21, pentru simplificareaexplicatiilor, este la o scala arbitrara: stim, de fapt, ca intensitateaprimului maxim secundar de difractie este circa 4% din intensitatea franjeicentrale (in desen este de circa 10%).Reteaua descrisa mai sus functioneaza in transmisie; daca trasaturile sefac pe o suprafata reflectatoare, obtinem o retea ce functioneaza in reflexie;pentru aceasta din urma, analiza este similara cu cea pentru reteaua in transmisie.3.8 Difractia FresnelFenomenele de difractie Fresnel se produc atunci cand sursa sau punctulde observatie, sau amandoua, sunt la distanta finita fata de deschidere saufata de obstacolul care perturba frontul de unda.21Deoarece tratarea analitica este destul de complicata, ne vom limita laanaliza cazurilor in care unda plana este incidenta pe o deschidere practicatape un ecran opac sau pe un obstacol iar observarea fenomenului se face la odistanta finita de acesta, dar intotdeauna mai mare decat lungimea de unda a radiatiei incidente. Pentru calcul efectiv folosim o metoda eleborata chiarde Fresnel care consta in divizarea frontului de unda incident in zone oportundefinite, fiecare dintre ele fiind vazuta in punctul P in care calculam efectelede difractie ca o sursa secundara de surse sferice. Este vorba, asadar, de oaplicatie particulara a principiului Huygens-Fresnel adaptata problemei pecare o vom rezolva.Consideram un front de unda plana care se propaga inspre P si notam cur0=OP distanta de la P la frontul de unda (figura 3.22)FIG.3.22Divizam frontul de unda in zone inelare concentrice, cu centrul in O,definite de conditia ca distantele la P de la marginea interna, respectiv de lamarginea externa a fiecarei zone sa difere cu /2:r1 = r0 + 2r2=r1 + 2=r0 + ...rn = rn-1 + 2=r0 + n 2 , n=1, 2, 3, ..Razele circumferintelor care delimiteaza zonele Fresnel sunt date deR2n=r2n- r20=(r0 + n 2) - r20=nr0 + n2 24 ' nr0 , 3.25 (25)unde aproximatia este consistenta cu ipoteza r0.Campul electricin P se obtine ca sursa a campurilor electrice En provenitede la fiecare zona. Ariile zonelor Fresnel,n = (R2n- R2 n-1) = [nr0 - (n - 1)r0 ] = r0 ,sunt toate egale intre ele, nu depind de n. Asadar, amplitudinile undeloremise de diferite zone sunt diferite in P numai datorita prezentei factoruluide inclinare f( ) si de distanta, scazand la cresterea lui n.Evaluarea campului electric rezultant ER se face aplicand metoda vectorilorrotitori. Fiecare zona finita este considerata la randul sau ca fiindformata dintr-un numar infinit de suprafete elementare in fiecare dintre ele22emite o unda de amplitudine infinitezimala. Diferenta de faza dintre undeleemise de marginile interne si externe ale fiecarei zone este=2 (rn - rn-1) =2 2=.Acest rezultat semnifica faptul ca desenand vectorii infinitezimali relativila prima zona Fresnel obtinem o semicircumferenta al carui diametru OAreprezinta campul electric E1 al undei emise de prima zona (figura 3.23).Pentru cea de-a doua zona Fresnel, pornind din A obtinem din nou o semicircumferintaal carui diametru AB reprezinta campul E2; punctul B nu coincide cu O siE1> E2. Continuand cu aceasta constructie se poate intui ca punctul finaleste O0, mijlocul segmentului OA, astfel incatEP=12E1 IP=14I1Intensitatea luminoasa in P produsa de frontul de unda mai sus definit esteegala cu un sfert din intensitatea produsa de prima zona Fresnel; scadereaeste legata de interferenta distructiva dintre diferite zone.Acelasi rezultat se obtine si scriind in felul urmator:EP = E1-E2+E3-E4+... =12E1+12(E1-2E2+E3)+12(E3-2E4+E5)+... =12E1.Alternarea semnelor plus si minus provine de la diferentele de faza succesiveiar termenii din paranteze sunt nuli daca se admite ca, prin efectul deinterferenta, contributia fiecarei zone Fresnel cu n par este compensata decontributiile a doua zone impare alaturate.3.9 Difractia pe un orificiu circularRatinamentul prezentat pana acum pare pur formal; insa, se poate vedeautilitatea acestui rationament atunci cand se interpune pe frontul de unda, ladistanta r0 de P, un ecran opac pe care exista un orificiu circular de raza R.Daca R variaza continuu de la zero la infinit se obtine pentru IP dependentadin figura 3.24.FIG.3.2423Datorita interferentei dintre diferite zone ale frontului de unda, intensitateadepinde mult de raza orificiului. Punctele de maxima intensitate seobtin atunci cand orificiul cuprinde exact un numar impar de zone Fresnel,adica pentru raze R egale cu R1=pr0 , R3=p3R1, R5=p5R1,..;punctele de minima intensitate se observa pentru raze R2=p2R1, R4=2R1,R6 = p6R1,.., adica atunci cand orificiul cuprinde exact un numar par dezone Fresnel. Linia punctata din figura reprezinta intensitatea in absentaecranului cu orificiu. Valorile maximelor de intensitate sunt descrescatoareiar acelea ale minimelor cresc deoarece amplitudinile campurilor descresc cucresterea lui R :E1 > E1-E2+E3 > E1-E2+E3-E4+E5 > ...,E1-E2 < E1-E2+E3-E4 < ..Subliniem faptul ca intreaga analiza de mai sus este valabila atunci candP este pe axa orificiului. Pentru a determina intensitatea intr-un punctQ care nu se afla pe axa OP trebuie sa tinem cont ca sistemul de zoneFresnel este caracteristic punctului de observatie; prin deplasarea din P in Qparalel cu planul orificiului, zonele Fresnel se deplaseaza cu Q. Intr-o pozitieoarecare Q, amplitudinea EQ rezulta prin suprapunerea campurilor provenitedin portiunile de zone intersectate de orificiu. Chiar si atunci cand punctulQ se afla in zona de umbra geometrica se observa o intensitate nenula.Figura de difractie observata pe un ecran aflat la distanta r0 de orificiuconsta intr-o serie de coroane circulare luminoase si intunecate, cu centrulluminos daca R = R1,R3,R5, .. si cu centrul intunecos daca R = R2,R4,R6, ..In figura 3.25 sunt prezentate doua exemple.FIG 3.25Daca modificam distanta r0 mentinand constanta lungimea de unda si raza R a orificiului, fiecarei valori r0 ii este asociat un sistem de zoneFresnel deoarece razele zonelor depind de r0 conform relatiei 3.25. Existavalori r0 pentru care orificiul cuprinde un numar impar de zone, si valorir0 pentru care zonele cuprinse in orificiu sunt in numar par; primele valorile corespund maxime de intensitate pe axa, valorilor secunde le corespundminime de intensitate.3.10 Difractia de raze X24Razele X ocupa banda de radiatii electromagnetice cu lungimi de undamai mici de 10-9m; acestea sunt produse prin franarea intr-un material greua electronilor accelerati la diferente de potential de zeci de mii de volti sauatunci cand un electron sufera o tranzitie intre doua nivele energetice aleunui atom.Intr-o retea de difractie normala razele X nu sunt difractate; de exemplu,pentru = 10-10m si d = 10-6m maximul de ordinul intai se formeazala unghiul = /d = 10-4rad = 5.7 10-3grade, mult prea aproape demaximul de ordin zero ca sa poata fie observat. Insa, o retea spatiala naturalacare poate produce difractia razelor X este o retea cristalina, in care atomiisunt dispusi dupa reguli structurale, cu distantele dintre ei foarte mici.Intr-un cristal perfect de sare, ionii de Na+ si Cl- formeaza o retea cubicade latura a iar volumul unei celule elementare este a3. Un mol de NaCl aremasa A = 58.45Kg si contine 2NA = 2 6.022 1026 ioni, ocupand, deci, unvolum V = 2NAa3. densitatea sarii este = 2.17 103Kg/m3 si rezulta caA = 2NAa3 , a = A2NA !1/3= 2.82 10-10m = 0.282nm.Distanta a se numeste constanta retelei iar valoarea ei reprezinta distantadintre atomii cristalului.Atunci cand un fascicul de raze X de lungime de unda este incidentpe aceasta structura cristalina, electronii care se afla in jurul fiecarui nucleuse comporta ca dipoli oscilanti, emitand radiatie electromagnetica culungimea de unda in toate directiile. Cristalul se comporta ca un sistemtridimensional de surse coerente si in spatiul inconjurator se observainterfereta undelor emise de aceste surse.Consideram o serie de plane paralele numite plane reticulare, care trecprin pozitiile atomilor; ca in figura 3.26.FIG.3.26Distanta d dintre doua plane reticulare este in general mai mica decatconstanta retelei a; numai pentru planele reticulare care sunt orizontale siverticale d = a.O unda plana incidenta sub un unghi (unghi razant) fata de planelereticulare aflate la distanta d unul fata de altul, vede atomii cristalului, cateunul pe un plan reticular, care apartin unei retele ortogonale pe planele reticulare,ca o retea unidimensionala. Daca ne situam pe directia de observare25ce formeaza unghiul fata de planele reticulare, diferentele de drumBB0B00, CC0C00 - BB0B00, DD0D00 - CC0C00dintre undele emise de doua surse alaturate cum sunt A si B0, B0 si C00, C00si D0 sunt egale cu 2d sin (figura 3.27).FIG.3.27Se obtine interferenta constructiva atunci cand2d sin = m , sausin =m 2d, m = 1, 2, 3, ..3.26 (26)relatie numita legea lui Bragg. Pentru unghiuri diferite, fasciculul este atenuatsau de-a dreptul suprimat din cauza interferentei distructive, la fel ca siin cazul retelei optice.Un dispozitiv pentru observarea difratiei de raze X este spectrograful cucristal, conceput de Bragg. Variindu-se unghiul si masurand unghiurilecorespunzatoare maximelor de difractie, din relatia (3.26) se poate deducespectrul lungimilor de unda ale fasciculului de raze X. Se verifica, astfel,existenta componentei continue a radiatiei de franare peste care se suprapunecomponenta de linii caracteristica structurii atomice a materialului emitator.In figura 3.28 este reprezentat unul dintre primele spectre obtinute de Braggin 1913: sunt vizibile spectrele de ordinul intai, respectriv de ordiul doi,fiecare avand trei linii.FIG 3.28Daca se utilizeaza un fascicul monocromatic de raze X se pot determinadistantele d, obtinandu-se informatii despre structura cristalina a materialuluifolosit ca tinta in spectrograf.In cazul in care fasciculul incident poate intalni in cristal diverse familiide plane reticulare, aspectul figurii de difractie este mult diferit.Prima evidenta a naturii ondulatorii a razelor X a fost obtinuta de vonLaue in 1912. Un fascicul ingust de raze X este incident pe un cristal subtirede suflura de zinc; figura de interferenta obtinuta este observata pe o placafotografica. Aceasta consta din puncte dispuse in mod regulat in jurul fasciculuicentral transmis; fiecare punct reprezinta urma unei directii de-a lungulcareia s-a obtinut un maxim de difractie. De fapt, pentru o lungime de undaincidenta exista cuplul de valori di si i pentru care este verificata relatia(3.26) cu o valoare intreaga pozitiva mi: aceasta inseamna ca directia deincidenta formeaza unghiul razant i cu o familie de plane reticulare avand26distanta di intre ele si ca 2di sin i = mi . Raza difractata impresioneazaplaca fotografica intr-o zona restransa, aproape punctiforma.Relatia (3.26) poate fi verificata si pentru alt grup de valori d, ,m diferite.De asemenea, experienta poate fi repetata si pentru alte lungimi de undaincidenta. Se constituie, asadar, spectrograma de puncte a lui von Laue incare fiecarui punct ii este asociata o familie de plane reticulare. Acest lucrueste caracteristic structurii cristaline iluminata cu un fascicul de raze X.Sa presupunem acum ca materialul pe care se difracta fasciculul de razeX este alcatuit dintr-o pulbere ce contine un mare numar de microcristale,orientale la intamplare. Daca relatia (3.26) este verificata pentru o familiede plane reticulare ale unui monocristal, aceasta este verificata de multealte monocristale si, in locul unui punct, pe placa fotografica se obtine ocircumferinta. Este ca si cum s-ar considera o situatie particulara realizatacu metoda von Laue si s-ar roti cristalul in jurul axei fasciculului; de fapt,in pulberea cristalina se gasesc toate directiile ce corespund diverselor rotiriale cristalului. Spectrograma, numita Debye-Scherrer, contine o serie decircumferinte; fiecare generata de o familie de plane reticulare.Difractia razelor X, in afara de spectroscopia propriu zisa cu raze X side studiul structurii cristaline, este utilizata si pentru analiza structurilormicroscopice cum ar fi moleculele biologice complexe de tipul ADN.
