Referat Fizica. Reflexie si refractie

label Referate autorenew 2025-09-29, 16:56 history_edu sebivaduva
Reflexia si refractia undelor2.1 IntroducereViteza de propagare a undelor depinde de proprietatile fizice ale mediuluiin care acesta se propaga. Ne asteptam ca la trecerea unei unde dintr-unmediu in altul viteza sa de propagare sa se schimbe. Astfel, odata cu vitezase schimba directia de propagare a undei (fenomenul de refractie) si, impreunacu refractia, se verifica fenomenul de reflexie a undei electromagnetice.La incidenta unei unde pe suprafata de separare dintre doua medii secreeaza o unda reflectata care se va propaga in cel de-al doilea mediu. Acestaunda se mai numeste unda transmisa din primul in cel de-al doilea mediu.Relatiile care leaga directiile undei reflectate, respectiv a celei transmisede directia undei incidente vor fi descrise in paragraful 2.3 si rezulta independentede natura undei. In schimb, relatiile care leaga amplitudinea undeiincidente i de amplitudinea undei reflectate r , respectiv de amplitudineaundei transmise t, depind de natura undei; acestea vor fi descrise in paragraful2.4.Reflexia si refractia undelor se pun in evidenta pentru toate tipurile deunde. Noi ne vom ocupa insa de cazul undelor electromagnetice luminoaseunde reflexia si refractia luminii stau la baza opticii geometrice. Aceastareprezinta ramura fizicii ce se ocupa de propagarea luminii in medii transparenteprecum si de proprietatile instrumentelor optice.In paragraful urmator vom enunta, fara demonstratie, teorema lui Kirchhoff,care contine formularea matematica a unui postulat introdus de Huygenssi modificat de Fresnel. Aceasta teorema poate fi considerata ca baza atuturor fenomenelor care se intalnesc in cazul propagarii undelor, fenomenecare nu sunt reprezentate doar de reflexie si refractie, ci si de interferenta sidifractia undelor.22.2 Teorema lui Kirchhoff. Principiul Huygens-FresnelTeorema lui Kirchhoff afirma ca perturbatia p(t) produsa de mai multesurseintr-un punct P din spatiu se poate calcula, neglijand distributia spatialaa surselor, atunci cand, fiind data o suprafatainchisa , arbitrara care continesursele, se cunosc valorile lui si ale derivatei sale normale @/@n in toatepunctele suprafetei (prin derivata normala se intelege variatia lui pentruo deplasare normala la suprafata).2.1Sa consideram situatia prezentata in Fig.2.1. In O se afla o sursa punctiforma care produce intr-un punct oarecare Q de pe suprafata care ilcontine pe O perturbatia:(q, t) =0qcos(kq - !t) =0qcos !(qv - 1),unde q reprezinta distanta de la Q la O. In punctul P aflat la distanta r de O,respectiv la distanta s de Q, teorema lui Kirchhoff ne conduce la urmatoareaexpresie pentru perturbatie:p(r, t) =02 I 1qs(cos 0 + cos ) cos[k(q + s) - !t - 2]d 2.1 (1)In relatia (2.1) d reprezinta elementul de suprafata situat in jurul punctuluiQ, 0 si sunt unghiurile pe care OQ si QP le formeaza cu versorul un normalla d si orientat spre exteriorul suprafetei iar este lungimea de unda.2.2Utilitatea calcului integralei din relatia (2.1) se observa foarte bine incazurile de interes practic. De exemplu, sa presupunem ca suprafata coincidecu o suprafata de unda sferica de raza q emisa de sursa punctiformaaflata in punctul O (deci, in centrul lui - Fig.2.2); in aceasta ipoteza 0 = 0si relatia (2.1) devine:p(r, t) = I ASf( ) cos[k(q + s) - !t - 2]d undeA =0 qsi f( ) =1 + cos 2.3Marimeadp =Asf( )d cos[k(q + s) - !t - 2]2.2 (2)reprezinta unda sferica infinitezimala prin care se intelege unda emisa deelementul infinitezimal de suprafata d si avand amplitudinea infinitezimaladA =Asf( )d = 0f( )d qs, 2.3 (3)cu dependenta de forma 1/s, specifica undelor sferice.In expresia undei infinitezimale, care are structura generala a unei unde,termenul spatial k(q + s) corespunde unei propagari de la O la Q, respectivde la Q la P; este de asemenea prezent un defazaj fix de 2 inainte fata deunda primara emisa de sursa.Functia f( ), numita factor de oblicitate sau deinclinare, contine dependentaamplitudinii undei infinitezimale de directia de emisie. Amplitudinea are valoareamaxima Ad /s pentru = 0 si scade monoton cu cresterea unghiului , anulandu-se pentru = .Rezultatele prezentate mai sus permit formularea principiului Huygens-Fresnel: orice element d al unei suprafete de unda poate fi consideratformal ca o sursa de unde sferice secundare a caror amplitudine, proportionalacu amplitudinea undei primare si cu aria d , variaza cu unghiul conformfunctiei f( ). Perturbatia produsa intr-un punct P se poate intotdeaunaobtine ca o suprapunere a tuturor undelor sferice elementare care ajung inpunctul P.Acest enunt reprezinta formularea moderna a principiului Huygens-Fresnel,introdus empiric pentru interpretarea fenomenelor observatein cazul propagariiundelor elastice; justificarea formala precum si forma analitica sunt date deteorema lui Kirchhoff.Principiul Huygens-Fresnel este deosebit de util: el permite determinareaunui nou front de unda la un moment de timp t pornind de la un frontanterior, atunci cand unda se propaga liber sau este limitata de un obstacolimpenetrabil.2.32.4Atunci cand unda se propagaintr-un spatiu liber, cunoscandu-se la mometult frontul de unda , plan sau sferic (Fig. 2.3 si 2.4) pentru a constitui frontulde unda 0 la momentul t0 > t se considera punctele suprafetei ca sursede unde sferice secundare, emise toate in acelasi moment de timp. Pentrufiecare astfel de punct se traseaza o semicircumferinta de raza v(t0-t) = vt4si rezulta noul front de unda 0, locul geometric al punctelor cu aceeasidiferenta de faza fata de punctele de pe suprafata . Cu ajutorul unei astfelde constructii se regaseste rezultatul conform caruia perturbatia se propagadupa raze rectilinii, normale la frontul de unda.In cazul in care unda intalneste un obstacol impenetrabil dar in careexista o apertura se poate calcula frontul de unda dincolo de apertura prineliminarea surselor care se afla in acea parte a frontului de unda care nu coincidecu apertura, ca in Fig.2.5. Daca apertura are largimea d mult mai maredecat lungimea de unda , unda care trece dincolo de apertura pastreazaforma frontului de unda incident si se poate spune ca propagarea este rectilinie.2.5Daca insa largimea d a aperturii este de ordinul , unda care trece dincolode apertura tinde sa se propage in toate directiile. Se spune ca unda afost difractata de apertura si, in acest caz, nu se poate vorbi de propagarerectilinie. Fenomenul de difractie va fi tratat intr-un paragraf viitor si seva vedea cum teorema lui Kirchhoff permite calcularea amplitudinii undeidifractate in functie de directia de propagare (dincolo de apertura) si deraportul d/ .Atunci cand de-a lungul directiei de propagare a unei unde se afla unecran cu n aperturi, avand toate aceeasi arie , se obtine, conform teoremeiKirchhoff, un sistem de n surse S1, ...Sn de unde sferice, fiecare avandamplitudinea data de relatia 2.3. Considerand un punct P aflat la distantasi de sursa Si, respectiv sj de Sj , diferenta de faza a undelor emise de Si siSj calculata in P estei,j = [k(q + si) - !t - 2] - [k(q + sj) - !t - 2] = k(si - sj).Se observa ca aceasta diferenta de faza este constantain timp; rationamentuleste valabil pentru oricare doua surse. Deoarece undele a caror diferenta defaza in P este constanta in timp se numesc unde coerente, cele n aperturivor constitui un sistem de surse coerente.2.3 Legile reflexiei si refractieiAtunci cand o unda traverseaza suprafata de separare dintre doua medii,viteza sa de propagare se modifica. Daca unda este armonica, caracterizata5de frecventa , pulsatia !, lungimea de unda si de numarul de unda k, printraversarea suprafetei de separare dintre doua medii pulsatia si frecventa nuvariaza, modificandu-se numai si k.Daca v1 si v2 sunt vitezele de propagare ale undei in cele doua medii,atunci putem scrie relatiile:! = 2 , 1 = v1 , 2 = v2k1 =!v1=2 1, k2 =!v2=2 22.4 (4)=) 1 2=v1v2,k1k2=v2v12.5 (5)In cazul in care v1 este mai mare ca v2 atunci 1 > 2.Pentru unda armonica care se propaga din vid (v1 = c, 1 = 0, k1 = k0)intr-un mediu transparent (v2 = c/n, 2 = , k2 = k), sunt valabile relatiile: = 0n, k =2 =2 0n = k0n, 2.6 (6)unde n este indicele de refractie al mediului. Deci, lungimea de unda intr-unanumit mediu este intotdeauna mai mica decat lungimea de unda in vid.Consideram acum unda plana, reprezentata de relatiai = 0i sin(ki r - !t),incidenta de-a lungul directiei vectorului ki pe suprafata de separare dintredoua medii in care vitezele de propagare sunt v1 respectiv v2. Unda reflectataeste de formar = 0r sin(kr r - !t),propagandu-se in primul mediu de-a lungul directiei kr cu viteza v1, iar undarefractatat = 0t sin(kt r - !t),propagandu-se in cel de-al doilea mediu cu viteza v2 de-a lungul directiei kt.Pe suprafata de separare a celor doua medii fazele celor trei unde trebuiesa fie egale in orice moment de timp,ki r - !t = kr r - !t = kt r - !tsi, deci,ki r = kr r = kt r 2.7 (7)Relatia (2.7) stabileste o legatura intre unda incidenta, unda reflectata sicea transmisa, in orice moment de timp.6Sa presupunem ca suprafata de separare dintre cele doua medii coincidecu planul xy, de ecuatie z = 0, punctul P(x, y) este punctul de incidenta iarvectorul ki apartine planului yz . In aceste conditii, se pot scrie relatiile:r = xux + yuy, ki = kiyuy + kizuz,kr = krxux + kryuy + krzuz, kt = ktxux + ktyuy + ktzuzsi, folosind (2.7), rezulta cakiy y = krx x + kry y = ktx x + kty y.Relatiile de mai sus trebuie sa fie valabile pentru orice valori x, y, adicaoricare ar fi pozitia punctului P in planul de incidenta, adicakrx = ktx = 02.8 (8)kiy = kry = kty2.9 (9)Deoarece am definit ca plan de incidenta planul perpendicular pe suprafatade sepa-rare a celor doua medii, adica paralel cu yz (ki si uz sunt continutein acest plan), din relatia (2.9) rezulta ca si vectorii kr si kt se afla in planulde incidenta. Asadar, se poate formula prima lege a reflexiei si a refractiei:1) directiile de propagare ale undei incidente, undei reflectate, respectivundei refractate se afla in planul de incidenta, definit de directia de incidentasi de normala la suprafata de separare a mediilor construita in punctul deincidenta.2.6In Fig. 2.6 sunt definite unghiurile de incidenta i, de reflexie r si detransmisie t, formati de vectorii de propagare cu normala la suprafata deseparare. Se observa ca aceste unghiuri sunt intotdeauna mai mici decat /2.Din relatia (2.4):kiy = ki sin i =!v1sin i; kry =!v1sin r; kty =!v2sin t.Introducand expresiile de mai sus in (2.9) se obtine:sin i = sin r,1v1sin i =1v2sin t.Cum unghiurile sunt mai mici decat /2 , rezulta ca i = r, 2.10 (10)7sin isin t=v1v2, 2.11 (11)relatii care constituie a doua si a treia lege a reflexiei si a refractiei:2) unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidenta;3) raportul dintre sinusul unghiului de incidenta si sinusul unghiului derefractiei este constat si egal cu raportul dintre vitezele de propagare.Aceste trei legi, deduse din continuitatea fazei undei incidente, undeireflectate, respectiv celei transmise, sunt valabile pentru orice tip de unda.Daca suprafata de separare este curbilinie, constructia geometrica este aceeasiconsiderandu-se ca plan xy planul tangent la suprafatain punctul de incidenta.Considerand o suprafata de separare plana si o unda incidenta plana acarei propagare o putem reprezenta prin raze paralele, razele reflectate suntsi ele paralele intre ele, la fel si razele refractate. In concluzie, fronturilede unda reflectate si refractate sunt paralele. Mentinerea formei frontuluide unda nu se verifica in cazul undei sferice incidente pe o suprafata plana;unda refractata nu ramane o unda sferica. Daca suprafata de separare dintremedii nu este plana, forma undei incidente in general se modifica, atat inreflexie cat si in transmisie.Pentru o unda luminoasa plana care traverseaza suprafata de separaredintre doua medii transparente cu indicii de refractie n1 si n2 (2.11) se poatescriesin isin t=v1v2=cn1n2c=n2n1.Notand 1 = i si 2 = t, rezulta casin 1sin 2=n2n1= n21saun1 sin 1 = n2 sin 2 2.12 (12)Raportul n21 = n2/n1 se numeste indice de refractie relativ al mediului aldoilea fata de primul mediu. Legea de refractie a luminii exprimata in relatia(2.12) este cunoscuta ca legea lui Snell si se enunta astfel: raportul dintresinusul unghiului de incidenta si sinusul unghiului de refractie este constantsi egal cu indicele de refractie relativ al celor doua medii.Reflexia totalaAtunci cand o unda luminoasa plana se propaga dintr-un mediu cu indicelede refractie n1 intr-un mediu cu indice de refractie n2 > n1, din relatia(2.12) rezulta:sin 2 =n1n2sin 1 =) 2 < 1 daca n2 > n1.2.13 (13)82.7Prin traversarea suprafetei de separare dintre medii, directia de propagarea undei plane transmise se apropie de normala la suprafata (Fig.2.7, mediilesunt aerul n1 = 1, respectiv sticla n2 = n). In cazul in care unda trecedintr-un mediu cu indice de refractie n1 intr-un mediu cu indice de refractien2 < n1,sin 2 =n1n2sin 1 =) 2 > 1dacan2 < n1.Directia de propagare a undei transmise seindeparteaza de normala la suprafatade separare a mediilor (Fig.2.8).2.8Cea de-a doua situatie ( 2 > 1) prezinta un caz limita, ilustrat in Fig.2.9;la cresterea unghiului de incidenta 1, unghiul de transmisie 2 (care crestemai rapid) va avea la un moment dat valoarea /2. Daca pentru valoarea /2 a unghiului de transmisie unghiul de incidenta este 0, rezulta casin 0 =n2n1.2.14 (14)Pentru valori 1mai mari decat 0, 2 nu poate avea valori reale, adica undarefractata nu se mai poate forma sau unda incidenta se reflecta total in primulmediu. Fenomenul se numeste reflexie totala iar 0 se numeste unghi limita.2.9Fenomenul de reflexie totala se utilizeza in transportul unui fascicul luminoscu ajutorul ghidurilor de unda. Acestea sunt constituite, de exemplu,dintr-un cilindru plin de sticla sau de material plastic transparent introdusintr-un mediu cu indice de refractie mai mic. Lumina care intra in cilindru,la incidenta pe peretii laterali ai acestuia formeaza un unghi mai mare decatunghiul limita si se va reflecta total de multe ori, fara pierderi mari, pana laiesirea din ghidul de unda.Dispersia luminii intr-un mediu transparentIn enuntul legii refractiei am subliniat faptul ca raportul sin i/ sin t esteo marime constanta; acesta este un rezultat riguros valabil numai daca luminaincidenta are o singura lungime de unda, adica este monocromatica.9Atunci cand in fasciculul incident sunt continute mai multe lungimi de unda,membrul al doilea al relatiei (2.12) poate lua valori diferite pentru fiecarelungime de unda: unui anumit unghi de incidenta ii corespund mai multeunghiuri de refractie.Daca un fascicul ingust de lumina alba, care contine toate lungimile deunda din domeniul vizibil, cade pe o placa de sticla, atunci lumina reflectataramane alba in timp ce fasciculul transmis prin sticla contine mai multe razede culori diferite, fiecare avand un unghi de refractie diferit. Indicele derefractie al luminii variaza cu lungimea de unda; acesta scade cu cresterealungimii de unda. Acest fenomen este cunoscut sub numele de dispersie aluminii.2.4 Intensitatea undelor electromagnetice reflectate sirefractate. Formulele lui Fresnel.Asa cum am vazut in paragraful anterior, relatiile geometrice dintredirectiile de propagare ale undelor electromagnetice incidente, reflectate sirefractate, independent de amplitudinea undei incidente sunt: i = r,sin isin t=n2(!)n1(!)Relatiile dintre amplitudinile undelor se pot deduce folosind ecuatiile Maxwell,mai precis, folosind conditiile de continuitate ale campurilor. Pentru doidielectrici omogeni si izotropi, de permitivitati dielectrice "1, "2 si permeabilitati magnetice 1 si 2 , este posibil sa se stabileasca relatiile dintrecomponentele campului electric E , inductiei D, inductiei magnetice B , respectivintensitatii campului magnetic H atat in primul mediu cat si in celde-al doilea, in puncte foarte apropiate de suprafata de separare dintremedii. Notand cu simbolul p componentele paralele cu suprafata si cusimbolul n componentele normale la aceasta suprafata, se pot scrie relatiile:E1p = E2p )D1p"1=D2p"2; H1p = H2p )B1p1=B2p2D1n = D2n ) "1E1n = "2E2n; 2.15 (15)B1n = B2n ) 1H1n = 2H2nDeci, componentele paralele ale lui E si H, respectiv componentele normaleale lui D si B sunt continue, restul componentelor fiind discontinue. Relatiile10(2.15) sunt valabile atatin cazurile statice cat siin cele dinamice, adica atuncicand campurile depind de timp.Sa consideram unda electromagnetica plana incidenta pe suprafata Ei = E0i sin(ki r - !t),care genereaza unda reflectata, respectiv unda transmisaEr = E0r sin(kr r - !t) , Et = E0t sin(kt r - !t).Campul electric rezultant in primul mediu este E1 = Ei + Er iar in cel de-aldoilea mediu campul va fi E2 = Et. Relatii similare sunt valabile pentrucampurile magnetice; astfel, B1 = Bi + Br si B2 = Bt. Atat pentru acestecampuri cat si pentru campurile D = "E , respectiv H = B/ sunt valabilerelatiile (2.15).Atunci cand pe suprafata fazele tuturor undelor sunt aceleasi, relatiile(2.15) se transforma in relatii intre amplitudinile campurilor incidente, reflectatesi refractate.Intensitatea reflectata si refractata pentru undele polarizate inplanul de incidentaIn Fig.2.10 este prezentata situatia particulara in care campul electricincident este polarizat liniar in planul de incidenta.2.10Vom demonstra ca si campul electric reflectat, respectiv cel refractat suntpolarizate liniar in planul . Prin ipoteza, campul magnetic B este perpendicularpe planul figurii si indreptat spre cititor. De asemenea, B este continuula trecerea prin suprafata daca neglijam proprietatile magnetice aledielectricilor (1 = 2 = 0). Deci,B1 = Bi + Br = B2 = Bt.Daca Br, ramanand ortogonal pe directia de propagare a razei reflectate, nuar fi ortogonal pe planul , ar avea o componenta B in planul . In acesteconditii, si Bt, din conditii de continuitate, trebuie sa aiba aceasi componentasi nu rezulta ortogonal pe directia de propagare a razei reflectate (Fig. 2.11).Asadar, Br si Bt trebuie sa fie ortogonali pe planul ca si Bi, iar Er si Etse vor afla in planul .112.11Notand cu Eio , Ero si Eto amplitudinile campurilor si aplicand relatiile(2.15) obtinem:Ei o cos i - Ero cos i = Eto cos t,"1Eio sin i + "1Ero sin i = "2Eto sin i.T inand cont de relatiile k2/k1 = (n2/n1)2 = (sin i/ sin t)2, rezulta urmatoarelerelatii pentru amplitudiniEro = r Eio , Eto = t Eio ,under =Ero Eio =n2 cos i - n1 cos tn2 cos i + n1 cos t=sin i cos i - sin t cos tsin i cos i + sin t cos t=tan( i - t)tan( i + t);t =Eto Eio 2.16 (16)=2n1 cos in2 cos i + n1 cos t=2 sin t cos isin i cos i + sin t cos t=2 sin t cos isin( i + t) cos( i - t).Relatiile (2.16), numite formulele lui Fresnel pentru planul , definesc coeficientiir si t care permit calcularea amplitudinilor undelor reflectate si refractatepornind de la cea incidenta: acestea depind numai de unghiul de incidentasi de unghiul de refractie.Fiecare dintre undele considerate are intensitatea data de relatiileIi =n12Z0(Ei0 )2, Ir =n12Z0(Er0 )2, It =n12Z0(Et0 )2,unde s"=1Z=nZ0,iar puterea corespunzatoare va fiWi = iIi , Wr = rIr , Wt = tIt , .2.1212 i este aria sectiunii fasciculului incident, egala cu cea a fasciculului reflectat, r = i (asa cum se poate observa in Fig. 2.12), in timp ce pentruaria sectiunii fasciculului transmis se obtine: t = 0 cos t , i = 0 cos i ) icos i= tcos t ) t i=cos tcos iRaportul dintre puterea reflectata si cea incidenta esteWr Wi = rIr iIi = Er0 Ei0 !2= r2 ,si acest raport se numeste coeficient de reflexie in planul :R =Wr Wi = r2 =tan2( i - t)tan2( i + t)2.17 (17)In mod similar se poate calcula raportul dintre puterea transmisa si ceaincidenta, tinand insa cont de faptul ca r si i nu sunt egale:Wt Wi = tIt iIi =n2 cos tn1 cos i Et0 Ei0 !2=n2 cos tn1 cos it2 ,si coeficientul de transmisie in planul va fi definit sub formaT =Wt Wi =n2 cos tn1 cos it2 =sin 2 i sin 2 tsin2( i + t) cos2( i - t).2.18 (18)Asa cum se poate verifica usor,R + T = 1 ) r2 +n2 cos tn1 cos it2 = 1, 2.19 (19)relatie in deplin acord cu principiul conservarii energiei.Intensitatea reflectata si refractata pentru unde polarizate perpendicularpe planul de incidentaSa analizam situatia in care campul electric incident este polarizat liniarperpendicular pe planul de incidenta . In Fig.2.13 campul electric esteindreptat inspre cititor. Si in acest caz se poate demonstra ca atat campulelectric refractat cat si cel reflectat pastreaza polarizarea campului electricincident iar campurile magnetice corespunzatoare sunt toate in planul .132.13Din relatia (2.15) se obtin, pentru componentele paralele si normale alelui B expresiile:-Bi0 1cos i +Br0 1cos i = -Bt0 2cos tBi0 sin i + Br0 sin i = Bt0 sin tFolosind relatia B = E/v si in aproximatia 1 = 2, campurile electricevor fi legate prin relatiile:-Ei0 cos i + Er0 cos i = -v1v2Et0 cos t,Ei0 sin i + Er0 sin i =v1v2Et0 sin t,unde cu simbolul se indica faptul ca, campul electric este paralel cu un plan perpendicular pe planul de incidenta . T inand cont de relatiile (2.11) si(2.12) se obtin egalitatile Er0 = r Ei0 , Et0 = t Ei0 , cu coeficientii dati deformulele lui Fresnel in planul :r =Er0 Ei0 =n1 cos i - n2 cos tn1 cos i + n2 cos t= -sin i cos t - sin t cos isin i cos t + sin t cos i= -sin( i - t)sin( i + t)t =Et0 Ei0 2.20 (20)=2n1 cos in1 cos i + n2 cos t=2 sin t cos isin i cos t + sin t cos i=2 sin t cos isin( i + t)Ca si, in cazul precendent, se obtin expresiile coeficientilor de reflexie, respectivde transmisie in planul :R =Wt Wi =It Ii = r2 =sin2( i - t)sin2( i + t)2.21 (21)T =Wt Wi = tIt iIi =n2 cos tn1 cos it2 =sin 2 i sin 2 tsin2( i + t).2.22 (22)R + T = 1 ) r2 +n2 cos tn1 cos it2 = 1, 2.23 (23)14Sa analizam semnele coeficientilor r , t , r , t definiti de formulele luiFresnel. t si t sunt intotdeauna pozitivi, r este pozitiv daca n1 > n2si negativ daca n1 < n2. Coeficientul r , la scaderea lui i este la inceputpozitiv, se anuleaza si devine apoi negativ daca n1 < n2; comportamentul luir este contrar ca semn daca n1 > n2.In concluzie, vom sublinia o proprietate generala a coeficientilor lui Fresnel.Daca unda plana luminoasa se propaga dintr-un mediu cu indice derefractie n1intr-un mediu cu indice de refractie n2, atunci i este unghiul deincidenta, t este unghiul de refractie, r1 si t1sunt coeficientii lui Fresnel (inplanul sau in planul ). Daca insa unda se propaga din mediul cu n2 inmediul cu n1 si unghiul de incidenta este t, unghiul de transmisie va fi egalcu i. In aceasta situatie, relatiile care leaga coeficientii r2 si t2 de r1 si t1sunt:r2 = -r1 , t1t2 = 1 - r21 = 1 - r22,numite relatiile lui Stokes, valabile atatin planul cat siin planul . RelatiileStokes nu sunt valabile daca unghiul de incidenta in cele doua cazuri esteacelasi, in afara cazului cand incidenta este normala, adica i = t.Pentru coeficientii de reflexie si transmisie sunt valabile relatiile:R1 =R2, T1 = 1 - R1 = T2 = 1 - R2.Incidenta normala la suprafata de separareAtunci cand unghiul de incidenta este zero, directia de incidenta coincidecu normala la suprafata de separare: in acest caz, notiunea de plan deincidenta isi pierde semnificatia. Campurile electrice din undele incidenta,reflectata si transmisa sunt atat paralele intre ele cat si cu suprafata de separareiar relatiile (2.15) se reduc la conditiaE1 = Ei + Er = E2 = Et.Conditia de conservare a energiei conduce la egalitatileIi = Ir + It =) n1E2i = n1E2r + n2E2t .Din relatiile de mai sus se obtin solutiileEr =n1 - n2n1 + n2Ei, Et =2n1n1 + n2Eiiar formulele lui Fresnel suntr =ErEi=n1 - n2n1 + n2, t =EtEi=2n1n1 + n22.24 (24)15In timp ce t este intotdeauna pozitiv (Et coincide cu Ei), r este negativdaca n1 < n2 si pozitiv daca n1 > n2. In primul caz (care se verifica, deexemplu, in cazul aer-sticla, aer-apa, apa-stica) campul electric reflectat esteopus campului electric incident. In cel de-al doilea caz, campul reflectatare acelasi sens cu cel incident. Aceste doua cazuri sunt reprezentate inFig.2.14. Semnul negativ al lui Er se poate elimina prin adaugarea unuitermen fazei sale si rezultatul se enunta astfel: in conditiile incidenteinormale, campul electric reflectat pe suprafata de separare dintre un mediumai putin refringent si un mediu mai refringent este defazat cu fata decampul electric incident. In situatia in care mediul al doilea este mai putinrefringent, campul electric reflectat este in faza cu campul incident. Campulmagnetic va avea un comportament opus campului electric.2.14Coeficientii de reflexie si de transmisie in conditiile incidentei normalesunt:R =WrWi=IrIi= r2 = n1 - n2n1 + n22,T =WtWi=ItIi=n2n1t2 =4n1n2(n1 + n2)2 .2.25 (25)Se poate verifica imediat ca n1 - n2n1 + n22+4n1n2(n1 + n2)2 = R + T = 1.Formulele (2.25) conduc la acelasi rezultat atat in cazul propagarii undeidin mediul n1 cat si in situatia inversa, din n2 in n1; procentele de energiereflectata, respectiv transmisa sunt aceleasi in cele doua cazuri, nu depindde diferenta de faza dintre campuri. Aceasta simetrie nu mai este valabiladaca i 6= 0; rezultatul este in concordanta cu relatiile lui Stokes discutatemai inainte.2.5 Propagarea undei electromagnetice planeintr-un mediuanizotrop. Birefringenta.Dielectricii liniari, cei pentru care exista o relatie de proportionalitateintre vectorii polarizare si camp electric, prezinta simetrie spatiala, adica16sunt izotropi: oricare ar fi directia campului electric aplicat proprietatileelectrice nu se modifica.Exista si substante ale caror proprietati electrice depind de directia luiE: printre acestea se afla cea mai mare parte dintre cristale si unele materialeplastice artificiale, constituite din molecule lungi care au o orientarepreferentiala dupa o anumita directie. In ceea ce priveste cristalele care suntdielectrici anizotropi naturali, vectorii P,E si D nu sunt paraleli iar susceptibilitatea nu este un numar, ci un tensor simetric cu sase componente;acelasi lucru este valabil si pentru constanta dielectrica relativa "r = 1 + .In orice cristal exista trei directii ortogonale, numite axe cristalograficesau axa optica ale cristalului. Daca aceste axe sunt chiar axele de coordonate(x, y, z), tensorii si "r sunt diagonali iar relatia dintre D si E esteDx = "0"r1Ex, Dy = "0"r2Ey, Dz = "0"r3Ez.Cele trei constante dielectrice relative caracteristice axelor optice se numescconstante dielectrice relative principale.Se defineste, in sistemul de referinta al axelor optice, elipsoidul indicilor derefractie ai materialului: cele trei semiaxe vor fi n1 = p"r1, n2 = p"r2, n3 =p"r3 iar ecuatia elipsoidului estex2n21+y2n22+z2n23= 12.26 (26)Notam faptul ca axele optice nu sunt localizateintr-o anumita parte a cristalului;fixand un punct al cristalului, acesta poate fi considerat ca centru alelipsoidului indicilor de refractie.Fresnel a demonstrat, inainte de formularea ecuatiilor lui Maxwell aleteoriei electromagnetice a luminii, faptul ca proprietatile optice ale cristaleloranizotrope se pot descrie cu ajutorul elipsoidului indicilor de refractie.Referindu-se la acest elipsoid, cristalele existente se pot imparti in treicategorii:1) substante cu n1 = n2 = n3 = n : elipsoidul indicilor de refractie esteo sfera de raza n. Pentru aceste substante nu se pot defini axele optice.Intersectia frontului de unda cu sfera este intotdeauna o circumferinta deraza n si nu pot fi individualizate axe particulare. Viteza de propagare aundei electromagnetice in cristal este v = c/n si nu exista birefringenta. Facparte din aceasta categorie de cristale cele din sistemul cubic si se comporta,practic, ca substante izotrope (ex: diamantul)2) substante cu n1 6= n2 = n3: elipsoidul indicilor de refractie este unelipsoid de rotatie in jurul axei principale caracterizate de indicele de refractien1. Aceasta axa se numeste axa optica a cristalului si este o axa de simetrie a17acestuia. Cristalele avand astfel de proprietati, numite uniaxe, fac parte dinsistemele romboedric, hexagonal, tetragonal (ex: cuartul, spatul de Islanda).3) substantele cu n1 6= n2 6= n3: elipsoidul indicilor de refractie nu areo simetrie particulara. Din aceasta categorie fac parte cristalele rombice,monoclinice, triclinice (ex: topazul).In cele ce urmeaza vom analiza numai cristalele uniaxe care au aplicatiilecele mai interesante. Pentru astfel de cristale, indicele de refractie n1 relativla axa optica se numeste indice de refractie extraordinar, ne; indicele derefractie n2 relativ la oricare axa ortogonala pe axa optica se numeste indicede refractie ordinar, no. Folosind aceste notatii, ecuatia elipsoidului indicilorde refractie devine:x2n2e+y2 + z2n2o= 12.27 (27)x fiind directia axei optice.Se disting doua tipuri de cristale uniaxe:a) cristale pozitive pentru care ne > no; elipsoidul este alungit pe directiaaxei optice;b) cristale negative pentru care ne < no; elipsoidul este turtit pe directiaaxei optice.2.15Sa analizam acum ecuatia elipsoidului (2.27). Construim frontul de undaal unei unde plane care se propaga in cristalul uniax astfel incat acesta satreaca prin centrul elipsoidului; intersectia lor va fi o elipsa de axe AA siBB (Fig.2.15) iar valorile corespunzatoare semiaxelor sunt nl respectiv no.O semiaxa este intotdeauna egala cu no, independent de orientarea frontuluide unda, in timp ce lungimea nl a celeilalte semiaxe depinde de directiaversorului nn normal la frontul de unda si variaza intre valorile no si ne. Sepoate demonstra ca pot avea un astfel de front de unda doua unde polarizaterectiliniu cu vectorul D osciland de-a lungul directiei AA (De) sau de-a lunguldirectiei BB (Do); nl si no sunt indicii de refractie pentru aceste doua undecare se propaga in cristal cu vitezele vl = c/nl si v0 = c/no.Unda asociata indicelui de refractie no se numeste unda ordinara iar vitezasa de propagare in cristal este intotdeauna vo = c/no, oricare ar fi orientareaversorului un. Polarizarea este ortogonala pe axa optica, campurile Eo si Dosunt paralele si se afla in planul frontului de unda care este perpendicular pedirectia de propagare.Unda asociata indicelui de refractie nl se numeste unda extraordinara iarviteza sa de propagare vl = c/nl depinde de orientarea lui un, variind intrevo si ve = c/ne. Campul electric Ee nu este paralel cu De care se afla in18planul frontului de unda. Ee este insa intotdeauna ortogonal pe directia depropagare iar frontul de unda si directia de propagare nu sunt ortogonaleintre ele. In particular, atunci cand un este paralel cu axa optica intersectiaeliptica degenereaza intr-un cerc de raza no(nl este egal cu no). Atunci candun este perpendicular pe axa optica intersectia frontului de unda cu elipsoiduleste o elipsa care coincide cu sectiunea maxima (semiaxele sunt no si ne )(Fig.2.16).2.16Pentru un unghi oarecare dintre un si axa optica (axa x) punctul P alelipsoidului aflat la distanta nl de centru va avea coordonatele astfel incatx2 = (nl sin )2 si y2 + z2 = (nl cos )2 iar (2.27) devine:n2lsin2 n2e+n2lcos2 n2o= 1 )sin2 n2e+cos2 n2o=1n2l,relatie care permite calcularea lui nl in functie de . Introducand in expresiade mai sus marimile ve, vo si vl se obtine relatia echivalentav2l = v2e sin2 + v2o cos2 2.28 (28)Deci, oricare ar fi orientarea frontului de unda fata de axa optica a cristalului,se pot determina indicele de refractie si viteza de propagare atat pentru undapolarizata ortogonal pe axa optica (unda ordinara, indice de refractie fix no)cat si pentru unda polarizata perpendicular pe aceasta, adica polarizata inplanul ce contine axa optica (unda extraordinara, indice de refractie variabil).Intreaga analiza de mai sus ne permite descrierea fenomenului de birefringenta.Sa consideram un cristal uniax taiat sub forma unei placi cu fetele plane paralelesi o unda luminoasa plana nepolarizata incidenta pe una dintre fetelecristalului.S-a observat ca, in general, din cristal ies doua unde polarizate liniar de-alungul a doua directii perpendiculare intre ele. Asadar, in interiorul cristaluluiunda incidenta se scindeaza in doua unde care se propaga in cristal cuviteze diferite si in directii diferite. O unda numita ordinara va verifica inorice situatie legea lui Snell (2.12) cu valoarea no a indicelui de refractie si vafi polarizata perpendicular pe axa optica a cristalului. Cealalta unda, insa,numita unda extraordinara, nu verifica legea lui Snell iar indicele de refractievariaza cu directia de propagare intre limitele no si ne; unda extraordinaraeste polarizata perpendicular pe cea ordinara.Sa determinam, acum, directiile de propagare ale undelor ordinara, respectivextraordinara, in interiorul cristalului. In acest scop, folosim principiulHuygens-Fresnel considerand ca orice punct de pe suprafata cristalului pe19care a cazut unda plana incidenta devine o sursa de doua unde elementare,una ordinara si alta extraordinara. Unda ordinara emisa intr-un punct Ooarecare are frontul de unda sferic iar viteza de propagare este aceeasi intoate directiile (pentru unda ordinara, cristalul este izotrop). Considerandt = 0 momentul incidentei undei, la t punctele de faze egale se gasesc pe osuprafata sferica de raza OP = vot = ct/no, cu ecuatia:x2 + y2 + z2 = v2o t2.Acest rationament nu se poate face si in cazul undei extraordinare emise inpuctul O: la t, spatiul parcurs este OQ si difera in functie de directia considerata, viteza de propagare nefiind izotropa. Se demonstreaza ca puncteleQ se gasesc pe o suprafata a carei ecuatie estex2v2o+y2 + z2v2e= t22.29 (29)Este vorba, deci, de un elipsoid de rotatie in jurul axei optice (de fapt, de-alungul oricarei directii ortogonale pe axa optica viteza undei extraordinareeste intotdeauna ve = c/ne). Frontul undei extraordinare este, asadar, unelipsoid. Cum de-a lungul directiei axei optice unda extraordinara are aceeasiviteza cu unda ordinara, suprafata de unda sferica si cea elipsoidala sunt tangentein punctele de pe axa optica. In Fig.2.17 sunt reprezentate cazurile incare ne > no si ne < no. In sectiunea maxima ce contine axa optica a cristaluluise pot observa unda ordinara sub forma circulara si cea extraordinara subforma eliptica; in sectiunea perpendiculara pe axa optica ambele unde auforma circulara.2.17Aplicatii ale birefringentei. Cristale dicroice. Polaroizi si analizori.Sa consideram un cristal uniax (lama cu fete plan-paralele) si o unda plananepolarizata incidenta normal pe o fata a cristalului. In lama apar o undaordinara polarizata ortogonal pe axa optica, respectiv o unda extraordinarapolarizata paralel cu axa optica (Fig.2.18). Ambele unde se vor propaga indirectia un a undei incidente, cu viteze diferite; fiecare va avea jumatate dinintensitatea undei incidente.202.18In cele mai multe cristale, atenuarea undei este neglijabila. Exista, insa,substante care absorb in proportii diferite cele doua tipuri de unde, ordinarasi extraordinara. Absorbtia in astfel de cristale depinde de unghiul pe careil face directia de oscilatie a campului electric cu o directie particulara, specifica substantei. Acest fenomen se poate explica astfel: daca moleculele carealcatuiesc cristalul au o forma alungita, va exista o absorbtie mai mare atuncicand campul electric E al undei este paralel cu axa lunga a moleculelor si oabsorbtie mai mica atunci cand E este perpendicular pe aceasta axa. Unadintre unde este absorbita progresiv si, daca grosimea cristalului este suficientde mare, unda dispare. Fenomenul se numeste dicroism iar substantelecu astfel de proprietati se numesc dicroice.Un cristal dicroic este o substanta care creeaza o unda polarizata dealungul unei directii care se numeste axa optica a cristalului. In general,substantele care creeaza o unda polarizata liniar se numesc polarizori. Incele ce urmeaza vom presupune ca intr-un polarizor unda emergenta nu esteatenuata.Sa ne imaginam acum ca unda incidenta normala pe polarizor este liniarpolarizata iar campul electric E face unghiul cu axa optica a polarizorului(ca in Fig.2.19, unde unda care se propaga de-a lungul axei x este indreptataspre cititor). Descompunem unda incidenta dupa directiile y si z; componentaE0y = E0 cos , care are campul electric paralel cu axa optica a polarizoruluise propaga fara a fi absorbita, in timp ce componenta E0z = E0 sin care are campul electric perpendicular pe axa optica este complet absorbita.2.19Daca I0 este intensitatea undei incidente, polarizate, proportionala cuE20 , intensitatea I1 a undei emergente, polarizata de-a lungul axei optice apolarizorului, este proportionala cu E20 cos2 si putem scrie relatiaI1 = I0 cos2 2.30 (30)care reprezinta legea lui Malus: intensitatea undei care iese dintr-un polarizorpe care a fost trimisa o unda liniar polarizata variaza proportional cu patratulcosinusului unghiului dintre directia de polarizare incidenta si axa optica apolarizorului.Sa analizam in continuare schema din Fig.2.19 : o unda nepolarizata esteincidenta normal pe polarizorul P1, unda polarizata iese din P1 si cade normalpe un al doilea polarizor P2, numit analizor. Rotind axa analizorului astfelincat unghiul dintre axele optice ale lui P1 , respectiv P2 sa varieze de la210 la 2 , intensitatea transmisa va fi maxima pentru = 0 si = , si nulapentru = 2 si = 3 2 . Asadar, atunci cand axele optice ale polarizoruluisi analizorului sunt paralele, transmisia este maxima; pentru axele opticeperpendiculare transmisia este nula.In tabelul 1 sunt prezentate rezultatele care descriu, din punctul de vedereal intensitatilor undei, diverse stari de polarizare ale unei unde plane incidentesi intensitatile undei transmise de un analizor. I este intensitatea undeiincidente, propagarea undei se face de-a lungul axei x si este unghiul dintreaxa optica a analizorului si axa y.Tabelul 1