Referat Fizica. Unde electromagnetice

label Referate autorenew 2025-09-29, 16:56 history_edu sebivaduva
1CAPITOLUL 1Unde electromagnetice1.1 Unde electromagnetice planeIn prima parte a Cursului de Fizica au fost prezentate unele proprietatigene-rale ale undelor, care nu depind de tipul de unda; cele mai multe saureferit la undele mecanice care au ca origine o perturbatie locala intrunmediu material si care se propaga in virtutea proprietatilor elastice alemediului sau, in cazul undelor de pe suprafata unui lichid, a proprietatilormecanice tipice ale mediului.Existenta undelor electromagnetice a fost deja mentionata, la fel ca siunele proprietati caracteristice acestora: proprietatea de a se propaga in vid,caracterul transversal in anumite conditii precum si faptul ca sunt produsede sarcini electrice in miscare cu acceleratie foarte mare; de asemenea, undeleelectromagnetice pot fi pusein evidenta la distanta mare de sursa, de exempluanalizand interactia campului electric si al campului magnetic ce compunundele cu sarcini electrice libere prezente intr-un conductor.In cele ce urmeaza incercam sa demostram modul in care in ecuatiileMaxwell sunt continute fenomene ondulatorii si sa definim undele electromagneticein cazul cel mai simplu, acela al undei plane.Consideram un mediu infinit si omogen, de permitivitate dielectrica " sipermeabilitate magnetica , in care nu se afla sarcini libere sau curenti deconductie, adica = 0 si j =0. In aceste ipoteze, ecuatiile Maxwell au forma:r E = 0 (a) r B =0 (b)1.1 (1)r E = -@B@t(c) r B ="@E@t(d)In loc de a cauta solutia generala, ne vom limita la cautarea unei solutiiparticulare in care campul electric E si campul magnetic B depind, intrunsistem de referita cartezian, numai de timp si de coordonata x, avand2aceeasi vaoare in punctele continute intr-un plan perpendicular pe axa x(solutia unda plana).T inand cont cain ipoteza facuta mai sus toate derivatele partialein raportcu y si z sunt nule, din (1.1) obtinem:r E =@Ex@x+@Ey@y+@Ez@z= 0;@Ex@x= 0r B =@Bx@x+@By@y+@Bz@z= 0;@Bx@x= 0(r E)x =@Ez@y -@Ey@x= -@Bx@t;@Bx@t= 0(r E)y =@Ex@z -@Ez@x= -@By@t;@By@t=@Ez@x(r E)z =@Ey@x -@Ex@y= -@Bz@t;@Bz@t=@Ey@x(r B)x =@Bz@y -@By@z= "@Ex@t;@Ez@t= 0(r B)y =@Bx@z -@Bz@x= "@Ey@t;@Ey@t= -1"@Bz@x(r B)z =@By@x -@Bx@y= "@Ez@t;@Ez@t=1"@By@x.Relatiile @Ex/@x = 0 si @Ex/@t = 0 conduc la concluzia ca componentaEx(x, t) a campului electric este constanta. Un astfel de camp poate fi produsde o distributie statistica de sarcini. Deoarece analizam campurile variabilein timp, vom exclude existenta unor surse de acest fel si, deci, Ex(x, t) = 0.Similar, din relatiile @Bx/@x = 0 s @Bt/@x = 0, excluzand curentii stationari,rezulta ca Bx(x, t) = 0.Acesta este un prim rezultat foarte important: daca demonstram ca celelaltecomponente verifica ecuatia undelor in x si y, aceste unde sunt transversale.Pentru demostratie folosim relatiile urmatoare:@Ez@x=@By@t(a)@Ey@x=@Bz@t(c)@Ez@t=1"@By@x(b)@Ey@t= -1"@Bz@x(d) 1.2 (2)Aceste relatii stabilesc o legatura intre Eysi Bz si intre Ez si By, adica intrecomponente perpendiculare. Derivam (1.2a) in raport cu x si (1.2b) in raport3cu t si obtinem:@2Ez@x2 =@2By@x@t,@2Ez@t2 =1"@2By@t@x.Cele doua derivate mixte ale lui By sunt egale si rezulta egalitatea@2Ez@x2 = "@2Ez@t2 .Similar, daca derivam (1.2a) in raport cu t si (1.2b) in raport cu x se obtinerelatia@2By@x2 = "@2By@t2 .Din ecuatiile (1.2c) si (1.2d) rezulta egalitatile@2Ey@x2 = "@2Ey@t2 ,@2Bz@x2 = "@2Bz@t2 .Asadar, oricare dintre componentele campului electric E sau ale campului Bverifica ecuatia diferentiala a undelor plane@2@x2 =1v2@2@2t= "@2@t2 , ( = Ey,Ez,By,Bz)1.3 (3)Campurile E si B se propaga de-a lungul axei x sub forma unei unde planeavand vitezav =1p"=1p"001p"rr=cp"rr, 1.4 (4)undec =1p"00= 2.99792458 108m/s1.5 (5)este viteza perturbatiei electromagnetice in vid ("r = 1).Deci, ecuatiile Maxwell contin ca solutii particulare campuri electrice simagnetice care se propaga avand caracteristicile undelor plane transversale.Viteza de propagare are o valoare bine definita in vid iar intr-un dielectricaceasta depinde de caracteristicile electrice si magnetice ale mediului, avandintotdeauna o valoare mai mica decat in vid. Deoarece c coincide cu valoareamasurata a vitezei luminii in vid, Maxwell a emis ipoteza ca lumina este eainsasi o unda compusa dintr-un camp electric si dintr-un camp magnetic.4Sa deducem acum relatiile care exista intre E si Bin orice punct si la oricemoment de timp. Ne reamintim faptul ca in ipoteza propagarii perturbatieiin sensul pozitiv al axei x, solutiile ecuatiilor (1.3) sunt de tipulEy = Ey(x - vt),Ez = Ez(x - vt),By = By(x - vt),Bz = Bz(x - vt),sau, sub forma vectorialaE = Ey(x - vt)uy + Ez(x - vt)uz,B = By(x - vt)uy + Bz(x - vt)uz.u = x-v este argumentul functiilor de mai sus, iar @u/@x = 1 si @u/@t = -v;din (1.2a) rezulta@By@t=@Ez@x=@Ez@u@u@x=@Ez@u,By = Z @By@tdt =@Ez@udt = -1v Z @Ez@udu = -Ezv+ const.Alegem constanta egala cu zero si obtinemBy(x - vt) = -1vEz(x - vt).Procedam analog pornind de la (1.2c) si rezultaBz(x - vt) =1vEy(x - vt).Componentele campului B depind, asadar, de componentele campului E iarcei doi vectori se pot scrie sub formaE = Ey(x - vt)uy + Ez(x - vt)uz,vB = -Ez(x - vt)uy + Ey(x - vt)uz,1.6 (6)din care se pot deduce toate relatiile dintre E si B in unda electromagneticaplana.Din cea de-a doua relatie (1.6) se obtine legatura dintre modulele campurilor,valabila in orice punct si la orice moment de timp:B2 = B2y + B2z =1v2 (E2y + E2z ) =E2v2) B =Ev,E = vB,EB= v.1.7 (7)5Din produsul scalar se obtineE B = EyBy + EzBz =1v(-EyEz + EzEy)) E B = 0 : .1.8 (8)cei doi vectori sunt intotdeauna perpendiculari intre ei.Produsul vectorial are valoareaE B = ux uy uzEx Ey Ez0 -Ezv Eyv =1v(E2y + E2z )ux) E B =E2vux = vB2ux = EBux; 1.9 (9)acesta exprima directia si sensul de propagare a undei, de-a lungul axei x.Sa rezumam proprietatile gasite pentru propagarea undei electromagneticeplane, adica ale unui camp electric si ale unui camp magnetic intr-unmediu omogen si izotrop fara curenti si sarcini libere (la limita, in vid):a) E si B se propaga cu aceeasi viteza v, care are valoarea c = 1/p"00 =3 108m/s , in vid;b) modulele campurilor sunt legate prin relatia de proportionalitate B =E/v (in vid, B = E/c);c) E si B sunt perpendiculari intre ei si pe directia de propagare (figura1.1); in acest caz, undele electromagnetice sunt unde transversale iar pentruacest tip de unde este important conceptul de polarizare;FIG.1.1d) produsul vectorial E B defineste directia de propagare a undei, iarmodulul sau este proportional cu patratul modulelor lui E si B.Toate aceste proprietati ale campurilor, chiar daca au fost deduse folosindun sistem de coordonate carteziene, raman valabile in orice alt sistem decoordonate.Subliniem faptul caintr-un fenomen ca cel al propagarii undelor, campurileE si B nu pot fi separate: prezenta unuia comporta si prezenta celuilalt.Aceasta este motivul pentru care nu se vorbeste de o unda de camp electricsau de o unda de camp magnetic, ci de o unda electromagnetica. In teorialui Maxwell cele doua campuri sunt unificate intr-un singur camp, campulelectromagnetic.In figura (1.2) sunt reprezentate campurile E si B pentru unda armonica;maximele si minimele sunt in acealasi puncte, asa cum reiese din relatia (1.6)6FIG.12In cele mai multe dintre mediile obisnuite, susceptibilitatea magneticaare o astfel de valoare incat
r - 1
< 10-5 si deci, putem considera r = 1;relatia (1.4) devinen =cv= p"r1.10 (10)si defineste raportul dintre viteza undei electromagnetice in vid si vitezaundei intr-un mediu in care aceasta se poate propaga, adica transparent laundele electromagnetice. In studiul propagarii luminii, n este numit indice derefractie absolut al mediului; acesta poate fi masurat independent de relatiacare il leaga de "r.Atunci cand se poate scrie B = H, relatia (1.7) are formaEH= v = r"= Z.1.11 (11)Marimea Z care are dimensiunile unei impedante, se numeste impedantacaracteristica a mediului. In vid, impedanta caracteristica esteZ0 = s0"0= 377
.1.12 (12)In medii transparente cu r = 1 exista relatiaZ =Z0 p"r=Z0n, 1.13 (13)care devine utila atunci cand analizam energia asociata campului electromagnetic.Inainte de a continua studiul undelor electromagnetice este importantsa ne reamintim ca, in procedeul urmat pana acum, un mediu dielectricomogen a fost tratat ca si vidul, in afara inlocuirii lui "0 si 0 cu " si . Inrealitate ar fi necesar sa se studieze caracteristicile mediului prin intermediulvectorului polarizatie P, sa se stabileasca relatiile dintre P si E si sa sedemonstreze existenta solutiei ondulatorii pentru ecuatiile Maxwell intr-unmediu material cu viteza undei data de (1.4). Cum in majoritatea cazurilorde interes conditia este satisfacuta, in cele ce urmeaza vom considera cageneral valabile relatiile (1.4) si (1.10)1.2 Polarizarea undelor electromagnetice plane7Sursele electromagnetice de interes emit pachete de unde armonice de durata finita. Daca durata t a pachetului este astfel incat banda de frecvente = 1/t este foarte mica fata de frecventa medie , putem trata pachetulde unde ca o unda armonica de lungime de unda si de frecventa .Pentru o unda electromagnetica plana, asa cum este cea descrisa in paragraful1.1, se poate defini fenomenul de polarizare; in acest scop este suficientsa specificam comportamentul campului electric E din moment ce campulmagnetic B este intotdeauna perpendicular pe E. Vom descrie, asadar, ounda armonica plana prin intermediul ecuatiilor:Ey(x, t) = E0y sin(kx - !t) , Ez(x, t) = E0z sin(kx - !t + )1.14 (14)Sunt valabile si relatiile deja cunoscute! = kv = 2 , = v,k =2 1.15 (15)A. Polarizarea liniara, = 0, = (figura 1.3)Componentele campului electric are expresiileEy = E0y sin(kx - !t) , Ez = E0z sin(kx - !t)1.16 (16)iar raportul lor este constantEzEy= E0zE0y= tgFig.1.3Campul electric E se afla intotdeauna in planul de polarizare care treceprin axa x si face unghiul cu planul xy. In acest plan campul oscileaza cuamplitudineaE0 = qE20y + E20z ) E0y = E0 cos ,E0z = E0 sin .1.17 (17)B. Polarizarea eliptica, = /2, = 3 /2 (figura 1.4)Componentele campului electric suntEy = E0y sin(kx - !t),Ez = E0z cos(kx - !t); 1.18 (18)modulul campului este E = qE2y + E2z si variaza intre valorile E0y si E0z.Directia lui E se schimba de-a lungul axei x si descrie un cerc complet pe8distanta . In timp, in planul xy, varful lui E descrie o elipsa de semiaxeE0y,E0z. Daca este constant dar are o valoare oarecare, elipsa are axeleinclinate fata de axele de coordonate.FIG?1.4C. Polarizarea circulara (figura 1.5)Componentele campului electric are expesiileEy = E0 sin(kx - !t),Ez = E0 sin(kx - !t).1.19 (19)Campul electric are amplitudinea constanta E0; variatia lui in functie dex si t este similara celei descrisa pentru polarizarea eliptica, cu elipsa cedegenereaza intr-un cerc.FIG?1.5D. Unda electromagnetica plana nepolarizataDaca diferenta de faza variaza in mod intamplator, nu se poate stabilio lege de variatie pentru E: starea de polarizare, chiar daca se poate definiin orice moment de timp si in orice pozitie, nu mai exista atunci cand seefectueaza mediain timp. Deoarece, in general, masurarea starii de polarizarea undei intr-o anumita pozitie se face intr-un interval de timp care este multmai mare decat timpul in care au loc variatiile lui , rezultatul este ca undaapare nepolarizata.FIG. 1.6Undele electromagnetice nepolarizate sunt cele ce constituie radiatia solara sau lumina emisa de o sursa normala cu incandescenta. In aceste cazuri,directia lui E este legata de mecanismele de emisie ale undelor. In concluzie,putem spune ca polarizarea undelor electromagnetice este creata prinsuprapunerea a doua unde coerente care se propaga in doua plane ortogonale,daca prin coerente intelegem doua unde pentru care diferenta de fazaramane constanta in timp.1.3 Energia undei electromagnetice plane. Vectorul Poynting.Prezenta unui camp electric E si a unui camp magnetic B intr-o regiunedin spatiu presupune si prezenta unei anumite energii distribuite in spatiucu densitatea u.9Intr-un mediu omogen, densitatile de energie ale campului electric, respectivcampului magnetic sunt date de expresiileue =12"E2 , um =B22,iar densitatea de energie electromagnetica esteu =12"E2+B22.Pentru unda electromagnetica plana, tinand cont de relatiile (1.7) si (1.4) ,rezulta caum =B22=E22v2 =12"E2 = ue,adicau = 2ue = "E2.1.20 (20)Energia electromagnetica este, asadar, datorita pe jumatate campului electricsi pe jumatate campului magnetic. Rezultatul este valabil, in general, sipentru unde care nu sunt plane.Sa consideram un element de suprafata d a carui normala n formeazaunghiul cu directia de propagare a undei definita de v sau de vectorul k.FIG.1.7In timpul dt prin d trece toata energia continuta in volumul prismeielementare de baza d si de inaltime vdt, adicadU = ud = ud cos vdt = "E2v cos d dt,unde d reprezinta elementul de volum.Puterea prin suprafata d estedP = "E2v cos d .Aceasta relatie permite definirea vectoruluiS = "E2v, 1.21 (21)care are proprietatea ca fluxul sau prin suprafata d exprima puterea instantaneeprin aceasta suprafatadP = S und = "E2v cos d = "E2vd 0 = Sd 0,10unde d 0 este suprafata infinitezimala ortogonala pe v, egala cu d cos .Folosind relatia (1.9) , se poate rescrie definitia (1.21) sub formaS =1E B, 1.22 (22)si, decidP =1(E B) und .Prin integrarea pe o sprafata finita , puterea instantanee prin aceastasuprafata este data de fluxul lui SP =Z S und =Z 1(E B) und .1.23 (23)Vectorul S definit in acest mod se numeste vector Poynting. Directia si sensullui coincid cu acelea ale vitezei de propagare, iar modulul sau reprezintaenergia electromagnetica care, in unitatea de timp, traverseaza unitatea desuprafata perpendiculara pe directia de propagare. S se masoara in aceleasiunitati ca si intensitatea undei, adica W/m2.Sa aplicam aceste rezultate, valabile pentru orice unda electromagneticaplana, undei plane armonice, polarizate liniar, reprezentata in planul de polarizaredeE = E0 sin (kx - !t) .Modulul vectorului Poynting esteS = "E2v = "vE20 sin2 (kx - !t) .In practica, fixand o suprafata ortogonala pe x, este important sa calculamnu atat fluxul instantaneu de energie, cat fluxul mediu. Motivul il constituiefaptul ca pulsatia undelor electromagnetice are, in general, o valoare foartemare (pentru radiatia luminoasa vizibila ! ' 1015 rad/s) si instrumentele demasura nu pot determina decat valoarea medie a energiei, nefiind sensibilela variatii atat de rapide.Valoarea medie a vectorului Poynting esteSm = "v E2m= "v1ttZ0E20 sin2 (kx - !t) dt =12"vE20 ,11unde timpul t corespunde unui numar mare de perioade ale undei; rezultatulnu depinde de valoarea unei eventuale faze initiale 0 care se adauga valoriikx - !t.Asadar, intensitatea undei electromagnetice plane armonice polarizateliniar esteI = Sm = "v E2m=12"vE20 = "vE2ef .1.24 (24)Deoarece campul electric al undei plane polarizate poate fi privit, conformrelatiei (1.14) , ca o suma vectoriala de doua campuri defazate, ortogonaleintre ele si pe directia de propagare, putem aplica (1.24) fiecareia dintrecomponenteIy =12"vE20y , Iz =12"vE20z.Intensitatea totala, egala cu suma intensitatilor fiecarei componente,I = Iy + Iz =12"v E20y + E20z, 1.25 (25)nu depinde de defazajul dintre componente si, deci, de starea de polarizare(liniara, eliptica sau circulara).Daca unda nu este polarizata, in medie, componentele Ey si Ez sunt egaleintre ele; relatia (1.25) ramane valabila numai daca se considera valorile mediiale patratelor amplitudinilor campului.Din (1.11) , (1.10), (1.4) obtinem"v = "1p"= s"=1Z=nZ0,iar relatia (1.24) se poate scrie sub formaI =12nZ0E20 =nZ0E2ef1.26 (26)si reprezinta intensitatea undei plane polarizata liniar.1.4 Unde electromagnetice plane, sferice si cilindrice.Asa cum s-a vazut, o unda electromagnetica plana armonica ce se propagaintr-o directie oarecare se poate scrie sub formaE = E0 sin (kr - !t) ;12r este raza vectoare care uneste punctul O cu un punct P de pe frontul deunda, k este vectorul de propagare, de modul k = 2 /, iar directia si sensulcoincid cu acelea ale propagarii undei (Fig.1.8).Fig.1.8Intr-un sistem de referinta cartezian,E (x, y, z, t) = E0 sin (kxx + kyy + kzz - !t) , 1.27 (27)k = qk2x+ k2y + k2z =2 =!v.1.28 (28)Intr-un mediu omogen si izotrop, ecuatiile Maxwell au ca solutii si undelesferice de formaE =E0rsin (kr - !t) , 1.29 (29)unde E0 este numeric egal cu amplitudinea campului electric pentru r = 1m.Campul electric si campul magnetic se propaga cu viteza v de-a lungulrazelor vectoare r care ies din punctul O in care se afla sursa punctiforma.Sa consideram un plan perpendicular pe raza vectoare r, campurile E siB apartin acestui plan (unda este transversala) (Fig.1.9) si la orice momentde timp sunt valabile relatiileE = Bv , E B =0 , E B =E2vur.Vectorul Poynting este intotdeauna definit de relatiaS =1E B,iar intensitatea medie are formaI =12"vE20r2 =n2Z0E20r2 , 1.30 (30)invers proportionala cu patratul distantei r pana la sursa.O sursa liniara, lunga si subtire, poate genera o unda cilindrica pentrucare sunt valabile relatiileE =E0 prsin (kr - !t) , I =12"vE20r=n2Z0E20r, 1.31 (31)13cu E0 amplitudinea campului electric pentru r = 1 m iar r distanta pana laaxa pe care se afla sursa.Subliniem faptul ca directiile de-a lungul carora se propaga undele suntraze ortogonale in fiecare punct al frontului de unda.