Progresii aritmetice1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICEUn sir de numere (A1 ,A2 , ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant r ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica .An+1 = An + r2.NOTATIE : An -:3.PROPRIETATIP1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa. An=A1 + (n-1) * rP2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor . A1 + An=A2 + An-1 = = Ai + An-i+1P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi . Ak=(Ak-1 + Ak+1) / 2P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen : Sn=(A1 + An) *n / 2P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia : Sn=[ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/24.APLICATII 1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat de formula :a)An = 2(la puterea -n )A0 = 2(la puterea 0) = 1A1=2(la puterea -1) = 1/2 A2=2(la puterea -2) = 1/4 A3=2(la puterea -3) = 1/8 A4=2(la puterea -4) = 1/16 A5=2(la puterea -5) = 1/32b)Xn = 5+4*nX0 = 5 X3=17X1 = 9 X4=21 X2=13 X5=252(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :a)1, 3, 5, 7, 9, ; => An=A1 + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n 1b)2, 4, 6, 8, 10, ; => An=A1 + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*nc)3, -3, 3, -3, ; => An=3* (-1)(la puterea n)d)1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ; => An=1/3(la puterea n)3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula Xn=6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :a)-102 (DA)6- 4*n = -102 => 4*n = 108=> n=27 b)-132 (NU)6- 4*n = -132 => 4*n = 138=> n=138/4 (nu apartine numerelor naturale)c)1006- 4*n = 100=> 4*n = -94 => n=-94/4 (nu apartine numerelor naturale)7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :a)A1 = 7 , r=2A2 = A1 + r=9A3 = 11A4=13b)A1 = -3 , r=5A2 = A1 + r=2A3 = 7A4=1216(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :a)1 + 7 + 13 + +X = 280An=A1 + (n-1)*rX = 1 + (n-1)*6X = 6*n 5Sn=(A1 + An)*n/2 = 280(A1 + X)*n/2 = 280=> (1 + 6*n-5)*n/2 = 2806*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0D=3364=> n1=10 ; n2=-28 (nu convine)=>X = 6*10 -5 = 55b)(X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + + (X + 28) = 155An=A1 + (n-1)*rX + 28=X + 1 + (n-1)*327 = (n-1)*3 => n=10S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155=> 2*X + 29=31 => X=120(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn=n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.S1 = A1S2=A1 + A2S3=A1 + A2 + A3Sn-1 = A1 + A2 + + An-1Sn = A1 + A2 + + An-1 + AnA1=S1 = 4A2=S2 - S1=1A3 = S3 - S2=3A4 = S4 - S3=52*A2 = A1 + A3=> 2=3 + 4 (F)=>Sirul nu este o progresie aritmeticaProgresii geomatrice 1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE Fie un sir (Bn) n>=1 , B1<>0 Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie. Bn=Bn-1 *q2.NOTATIE : :-: (Bn) n>=1 3.PROPRIETATIP1: Daca avem n termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere de cati termeni sunt inaintea lui. Bn=B1 *q(la puterea n-1)P2: Daca B1, B2, , Bn sunt n termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor. B1*Bn = B2*Bn-1 = = Bi*Bn-i+1P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi. Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.P4: Suma primilor n termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este : Sn=B1 * q(la puterea n)-1/q-14.APLICATII 26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :a)B1 = 6 , q=2B2 = B1*q = 12B3=B2*q = 24B4=B3*q = 48B5=B4*q = 96b) B2=-10 , q=1/2 B1=B2/q = -20 B3=B2*q = -5 B4=B3*q = -5/2 B5=B4*q = -5/427(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :a)Y1, Y2, 24, 36, 54, ;36 = 24*q => q=36/24 = 3/224 = Y2*q => 24=Y2*3/2 => Y2=24*2/3 = 16 16=Y1*q => 16=Y1*3/2 => Y1=32/3b)Y1, Y2, 225, -135, 81, ;-135 = 225*q => q=-135/225 = -9/17 225=Y2*q => 225=Y2*-9/17 => Y2=-425-425 = Y1*-9/17 => Y1=7225/928(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn) :a)B3 = 6 , B5=24 , sa se gaseasca B7, B9, B10;B3 = B1*q(la puterea 2)B5 = B1*q(la puterea 4)=> 6/24 = q(la puterea -2) => q=2 B3=B1*q(la puterea 2) => B1=3/2 => B7=B1*q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96=> B9=B1*q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384=>B10 = B1*q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768 30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :a)B1 = 2Bn+1 = 3*BnBn = B1*q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)Bn+1 = Bn*q => 3*Bn = Bn*q => q = 3?Bn = 2/3*3(la puterea n)1.Rezolvati ecuatia : 1+X+X2++X1oo = 0Sn = 1*(1- X1o1)/(1- X)1-X <>0 => X<>1=> 1- X1o1=0 => X1o1=1 => X1o1=cos0 +i*sin0=> Xk=1o1?cos0 + i*sin0 = cos2k?/101 + i*sin2k?/101k=0 => X=1 (nu convine)k=1 => X=cos2?/101 + i*sin2?/101 k=100 => X=cos200?/101 + i*sin200?/1012.Intr-o progresie geometrica avem S3=40, S6=60. Sa se gaseasca S9.S3= B1*(q3-1)/(q-1)S6= B1*(q -1)/(q-1)=> S3/S6= (q3-1)/(q -1)= 2/3=> 3*q3-3 = 2*q -2 => 2*q +3*q3-1= 0Notam: q3=y=> 2*y2-3*y+1= 0 ?= 1=> y1=2, y2=1=> q3=1 => q=1(nu convine)=> q3=2 => q=3?2=> S3=B1*(q3-1)/(q-1)= 40=> B1=40(3?2 -1)=>S9= B1*(q 1)/(q-1) = 2803.Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica. (b+x)2 = (a+x)*(c+x) b2 + 2bx + x2=ac +ax +cx +x2 b2-ac = x( a+c-2b) => x=(b2-ac)/(a+c-2b)4.Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:A4 + A1=7/16A3- A2 + A1=7/8A1*q3 + A1=7/16 => A1(q3 + 1)=7/16A1*q2 -A1*q +A1=7/8 => A1(q2 -q +1)=7/8=> (q3+1)/(q2 -q +1)=1/2 => q+1=1/2 => q=-1/2 => A1(-1/8 +1) =7/16 => A1= 1/2