SUBGRUPDefiniieFie (G,) un grup.O submulime nevid H a lui G se numete subgrup a lui G dac sunt satisfcute urmtoarele condiii :1. x,y H=> xy H2. x H=>x Hunde x este simetricul lui x (n raport cu operaia lui G)TeoremFie (G,) un grup, e elementul neutru a lui G i H un subgrup al lui G.Atunci:1. e H2. H este grup n raport cu operaia indus pe H de ctre operaia grupului G.Demonstraie : 1.H ? G=> lege de compoziie intern pe H i. x,y H=> xy H2i. x H=>x H=>xx Hdar xx=e =>e H2.:H?H op.indusH parte stabil a lui G(G,) un grup=> asociativ pe G=> asociativ pe H e H a.. xe=ex =x x H x H , x H a.. xx=xx = e=>H=GrupExemple1.Fie (G,) un grup, e elementul neutru i E={e}.Atunci E este subgrup al lui G ,numit subgrup unitate.Dac x,z E=>x=y=e decixy=yx=e Ex=e=e E2.Fie n>=0 un numr ntreg i nZ mulimea tuturor multiplilor lui n,nZ={nh | h Z}Atunci nZ este subgrup al grupului (Z,+).Adevrat : dac x,y nZ, h,k Z a.i. x=nh ,y=nk=>x+y=nh+nk=n(h+k) nZ-x= -(nh)=n(-h) nZdeci nZ este subgrup al lui (Z,+)Definiie Fie (G,) un grup ,a G i n>0.Spunem ca a este element de ordinul n al grupului G dac an =e si ah ?e,h=1,2 n-1