Cuprins1.Gruparea angajatilor pe baza unor intervale de lungime data in raport cu venitul salarial........................................pag. 4Gruparea angajatilor pe baza unor intervale de lungime data in raport cu productivitatea medie lunara...................pag. 5Reprezentarea printr-o histograma a distributiei venitului salarial mediu........................................................... pag. 5Reprezentarea printr-o histograma a distributiei productivitatii medii lunare a muncii..........................pag. 62.Valorile tipice ale seriilor :-Media aritmetica...............................................pag. 6-Valoarea mediana.............................................pag. 8-Modul(dominanta).............................................pag. 12 3.Dispersia..................................................................pag. 15Asimetria..................................................................pag. 18Boltirea.....................................................................pag. 204. Legatura dintre productivitatea muncii si veniturile salariale....................................................................pag. 24 Proiect n tabelul nr.1 este prezentata o serie statistica utilizata n cadrul unei cercetari asupra relatiei dintre venitul salarial si productivitatea muncii pentru un grup de 25 de angajati ai unei firme. Se cere:1.sa se sistematizeze, pe baza a 5 grupe egale, si sa se reprezinte grafic seria statistica ;2.sa se determine valorile tipice ale seriilor de variatie rezultate n urma gruparii ;3.sa se analizeze dispersia, asimetria si boltirea seriilor de variatie apreciindu-se reprezentativitatea valorilor tipice ;4.sa se analizeze legatura dintre productivitatea muncii si veniturile salariale. Nr.crt.Venit salarial mediu (RON/luna)Productivitatea lunara medie a muncii (RON/luna)(0)(1)(2)1.6607502.6807903.7408304.7608505.7908806.7908907.7909208.8949949.83096010.83097011.83098012.83099013.830100014.870103015.87099616.994100617.990108018.990109019.1020112020.1020113021.1020108622.1030109623.1100121024.1130124025.11601250 Tabelul nr.1 Date utilizate n cadrul cercetarii: Pentru facilitarea calculelor vom nota cu X caracteristica venitului salarial mediu si cu Y caracteristica productivitatii lunare a muncii. 1. a) Pentru gruparea dupa caracteristica X se pleaca de la limitele variatiei:X = 660 Ron/luna;X = 1160 Ron/luna;si de nr. de grupe: K = 5 d = Ron/luna; unde d este lungimea unui interval de variatie;Tabelul nr. 1.1. Gruparea angajatilor pe baza unor intervale de lungime data in raport cu venitul salarial Nr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta (n )(0)(1)(2)1.[660; 760)32.[760; 860)93.[860; 960)34.[960; 1060)75.[1060; 1160]36.Total257.Simbol pentru total b) Pentru gruparea dupa caracteristica y se porneste de la numarul de grupe K =5 si de la limitele variatiei:Y Ron/luna;Y Ron/luna; Determinam apoi lungimea unui interval de varitie dupa formula: d Ron/luna;Tabelul nr. 1.2. Gruparea angajatilor pe baza unor intervale de lungime data in raport cu productivitatea medie lunaraNr.crt.Interval de variatie [RON/luna]Frecventa absoluta (n )(0)(1)(2)1.[750; 850)32.[850; 950)43.[950; 1050)94.[1050; 1150)65.[1150; 1250]36.Total257.Simbol pentru total Fig.1.1 Reprezentarea printr-o histograma a distributiei venitului salarial mediuFig. 1.2. Reprezentarea printr-o histograma a distributiei productivitatii medii lunare a muncii 2.Valorile tipice ale seriilor rezultate n urma gruparii, sunt urmatoarele:-Media aritmetica;-Valoarea mediana;-Modul;A. MEDIA ARITMETICa 1) Formula de calcul pentru media aritmetica a seriei de variatie n raport cu caracteristica X este: unde:? - este media aritmetica a seriei de variatie n raport cu caracteristica X; ?K - este numarul de grupe al seriei n raport cu caracteristica X;?X - este centrul de interval al grupei i formata dupa caracteristica X;?n - este frecventa absoluta a grupei i. Tabelul nr. 2.1. Calcule intermediare pentru determinarea mediei aritmetice pentru caracteristica XNr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta (n )Centrul de interval (X ) [Ron/luna]X n [Ron/luna](0)(1)(2)(3)(4)=(3) (2)
1.[660; 760)371021302.[760; 860)981072903.[860; 960)391027304.[960; 1060)7101070705.[1060; 1160]3111033306.Total25 225507.Simbol pentru total n tabelul nr.2.1. este prezentat calculul termenilor formulei mediei aritmetice. n raport cu acestia rezulta: RON/luna; 2) Formula de calcul pentru media aritmetica a seriei de variatie n raport cu caracteristica Y este: unde:- este media aritmetica a seriei de variatie n raport cu caracteristica Y;- este numarul de grupe a seriei n raport cu caracteristica Y;- este centrul de interval al grupei i formata dupa caracteristica Y;- este frecventa absoluta a grupei i;Tabelul nr.2.2. Calcule intermediare pentru determinarea mediei aritmetice pentru caracteristica YNr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta (n )Centrul de interval (Y )Y n [Ron/luna](0)(1)(2)(3)(4)=(3) (2)
1.[750; 850)380024002.[850; 950)490036003.[950; 1050)9100090004.[1050; 1150)6110066005.[1150; 1250]3120036006.Total25 252007.Simbol pentru total n tabelul nr.2.2. este prezentat calculul termenilor formulei aritmetice. n raport cu acestia rezulta: Ron/luna; B.VALOAREA MEDIANA Valoarea mediana mparte o serie n doua grupari de niveluri egale;Aceasta se calculeaza n urma a mai multor etape; 1) Pentru calculul valorii mediane pentru seria de variatie dupa caracteristica X trebuie parcurse mai multe etape:n prima etapa se calculeaza o marime numita unitatea mediana; Se noteaza cu U ; U ;A doua etapa consta n a determina frecventele absolute cumulate. Se noteaza cu N se calculeaza prin adunarea la frecventa absoluta a grupei , a frecventelor absolute ale grupelor anterioare;Tabelul nr.2.3. Calcule intermediare pentru determinarea medianei pentru caracteristica XNr.crt.Grupe de venituri salariale medii [Ron/luna]Frecventa absoluta ( n )Frecventa absoluta cumulata ( N )
(0)(1)(2)(3)1.[660; 760)332.[760; 860)9123.[860; 960)3154.[960; 1060)7225.[1060; 1160]3256.Total25
7.Simbol total n a treia etapa se determina intervalul median acel interval care contine valoarea mediana care este primul interval la care frecventa absoluta cumulata este mai mare dect unitatea mediana (prima de sus n jos ); -pentru seria de variatie dupa caracteristica X intervalul median este: [860; 960];Ultima etapa presupune determinarea valorii mediane pe baza formulei: unde: - este limita inferioara a intervalului median; = 860; - este lungimea intervalului median; = 100; - este frecventa absoluta a intervalului care precede intervalul median; = 12; - este frecventa absoluta a intervalului median; = 15;astfel valoarea mediana este: 866,67 Ron/luna; 2) Pentru calculul valorii mediane pentru seria de variatie dupa caracteristica Y trebuie parcurse, ca si n cazul seriei de variatie dupa caracteristica X, mai multe etape:n prima etapa se calculeaza o marime numita unitatea mediana; Se noteaza cu U ; A doua etapa consta n a determina frecventele absolute cumulate. Se noteaza cu N se calculeaza prin adunarea la frecventa absoluta a grupei , a frecventelor absolute ale grupelor anterioare;Tabelul nr.2.4. Calcule intermediare pentru determinarea medianei pentru caracteristica Y Nr.crt.Grupe de productivitati medii ale muncii [Ron/luna]Frecventa absoluta ( n )Frecventa absoluta cumulata ( N )
(0)(1)(2)(3)1.[750; 850)332.[850; 950)473.[950; 1050)9164.[1050; 1150)6225.[1150; 1250]3256.Total25
7.Simbol total
?n a treia etapa se determina intervalul median acel interval care contine valoarea mediana care este primul interval la care frecventa absoluta cumulata este mai mare dect unitatea mediana (prima de sus n jos ); -pentru seria de variatie dupa caracteristica Y intervalul median este: [950; 1050];? Ultima etapa presupune determinarea valorii mediane pe baza formulei: ; unde: - este limita inferioara a intervalului median; = 950; - este lungimea intervalului median; = 100; - este frecventa absoluta a intervalului care precede intervalul median; = 7; - este frecventa absoluta a intervalului median; = 16;astfel valoarea mediana este: 987,5 Ron/luna;C. MODUL ( dominanta )-reprezinta valoarea careia i corespunde cea mai mare frecventa; 1) Pentru calcularea acestei valorii, n cazul seriei de variatie dupa caracteristica X, trebuie parcurse mai multe etape:n prima etapa se alege intervalul modal, acel interval care contine modul, intervalul cu cea mai mare frecventa absoluta. -[960; 1060] intervalul modal;A doua etapa presupune determinarea urmatoarelor marimi: ; ; unde: - este frecventa absoluta a intervalului modal; - este frecventa absoluta a intervalului care precede intervalul modal; - este frecventa absoluta a intervalului care urmeaza dupa intervalul modal. Tabelul nr. 2.5. Calcule intermediare pentru determinarea modului pentru caracteristica XNr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta (n )
(0)(1)(2)1.[660; 760)32.[760; 860)93.[860; 960)3(4.[960; 1060)75.[1060; 1160]36.Total257.Simbol pentru total
Conform tabelului nr. 2.5. diferentele si vor fi: ; ;A treia etapa presupune determinarea valorii modukui prin urmatoarea formula: ; unde este limita inferioara a intervalului modal; = 960;astfel: 1010 Ron/luna; 2) Pentru calcularea acestei valorii, n cazul seriei de variatie dupa caracteristica Y, trebuie parcurse mai multe etape:n prima etapa se alege intervalul modal, acel interval care contine modul, intervalul cu cea mai mare frecventa absoluta. -[950;1050 ] intervalul modal;A doua etapa presupune determinarea urmatoarelor marimi: ; ; unde: - este frecventa absoluta a intervalului modal;- este frecventa absoluta a intervalului care precede intervalul modal; - este frecventa absoluta a intervalului care urmeaza dupa intervalul modal. Tabelul nr.2.6. Calcule intermediare pentru determinarea modului pentru caracteristica Y Nr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta (n )
(0)(1)(2)1.[750; 850)32.[850; 950)43.[950; 1050)94.[1050; 1150)65.[1150; 1250]36.Total257.Simbol pentru total
Conform tabelului nr.2.6. diferentele si vor fi: ; ;A treia etapa presupune determinarea valorii modului prin urmatoarea formula: ; unde este limita inferioara a intervalului modal; = 960;astfel: 1012.5 Ron/luna;3.DISPERSIAPentru evaluarea dispersiei trebuie calculate mai multe marimi. Dintre aceste marimi folosite destul de frecvent n practica sunt:-varianta;-abaterea medie patratica;-coeficientul de variatie n raport cu abaterea medie patratica.Determinarea variantei unei distributii heterograde se bazeaza pe relatia:-pentru seria de variatie dupa caracteristica X: ;-pentru seria de variatie dupa caracteristica Y: ;astfel:Tabelul 3.1. Valori intermediare utilizate n calculul variantei pentru caracteristica XNr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta (n )Centrul de interval (X ) [Ron/luna] [Ron/luna] [Ron/luna] [Ron/luna](0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.[660; 760)3710-192368641105922.[760; 860)9810-928464761763.[860; 960)3910864192(4.[960; 1060)7101010811664816485.[1060;1160]31110208432641297926.Total25 3984007.Simbol pentru total unde = 902 Ron/luna; = RON/luna;Tabelul 3.2. Valori intermediare utilizate n calculul variantei pentru caracteristica YNr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta (n )Centrul de interval (Y )[Ron/luna] [Ron/luna] [Ron/luna] [Ron/luna](0)(1)(2)(3)(4)(5) (6) 1.[750; 850)3800-208432641297922.[850; 950)4900-10811664466563.[950; 1050)91000-8645764.[1050;1150)61100928464507845.[1150;1250]31200192368641105926.Total25 3384007.Simbol pentru total unde 1008 Ron/luna; = [Ron/luna] ;Dupa determinarea variantei, se calculeaza abaterea medie patratica, dupa formula:-pentru seria de variatie dupa caracteristica X: Ron/luna;-pentru seria de variatie dupa caracteristica Y: Ron/luna;Determinarea coeficientului de variatie n raport cu abaterea medie patratica :-pentru seria de variatie dupa caracteristica X: ;-pentru seria de variatie dupa carcteristica Y: ; datorita faptului ca cele doua valori ale coeficientului de variatie n raport cu abaterea medie patratica sunt mai mici dect 40 atunci rezulta ca cele doua serii sunt omogene, iar media aritmetica este reprezentativa. ASIMETRIAPentru evaluarea asimetriei este necesar calculul unui coeficient. Dintre acestia cei mai utilizati sunt:-coeficientul de asimetrie n raport cu modul;-coeficientul de asimetrie n raport cu mediana;Pentru seria de variatie dupa caracteristica X: ; ; unde: - - este coeficientul de asimetrie n raport cu modul; - - este media aritmetica; - - este modul; - - este abaterea medie patratica; - - este coeficientul de variatie n raport cu mediana; - - este mediana.datorita coeficientul de variatie n raport cu modul seria este negativa si moderata, iar conform coeficientului de variatie n raport cu mediana seria este pozitiva si slaba Pentru seria de variatie dupa caracteristica Y: ; ;unde: - - este coeficientul de variatie n raport cu modul; - - este coeficientul de variatie n raport cu mediana; - - este media aritmetica; - - este abaterea medie patratica; - - este modul; - -este mediana;datorita coeficientul de variatie n raport cu modul seria este negativa si slaba, iar conform coeficientului de variatie n raport cu mediana seria este pozitva si slaba. Boltirea Pentru determinarea boltirii unei distributii heterograde este necesar sa se calculeze un indicator de apreciere a boltirii, numit coeficientul pearsonian al boltirii. Aceasta marime, notata cu , respectiv , poate fi calculata raportnd momentul centrat de ordinul 4 la patratul momentului centrat de ordinul 2 ( varianta seriei ): = ; Valoarea acestui coeficient are urmatoarele semnificatii:pentru 3, distributia este platykurtica ;pentru = 3, distributia este mezokurtica ;pentru 3, distributia este leptokurtica . Determinarea coeficientului impune calculul prealabil al mediei aritmetice, al variantei si al momentului centrat de ordinul 4. A. Pentru seria de variatie n functie de caracteristica X :Media aritmetica a seriei are valoarea: RON/luna;Tabelul 3.3. Valori intermediare utilizate n calculul variantei si momentul centrat de ordinul 4.Nr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta( ) [Ron/luna]( [Ron/luna] [(Ron/luna) ] [(Ron/luna) ]
(0)(1)(2)(2)(3)(4)(5)1.[660; 760)3710-1921105924076863488.002.[760; 860)9810-9276176644753664.003.[860; 960)3910857612288.004.[960; 1060)7101010881648952342272.005.[1060; 1160]311102081297925615321088.006.Total25 39878411289292800.007.Simbol pentru total
Momentul centrat de ordinul 2 (varianta ) are valoarea: 15951,3 (Ron/luna) ;Momentul centrat de ordinul 4 are valoarea: (Ron/Luna) ;Rezulta: = = , ceea ce indica o distributie platykurtica. B.Pentru seria de variatie n functie de caracteristica y:Media aritmetica a seriei are valoarea: Ron/luna;Tabelul 3.4. Valori intermediare utilizate n calculul variantei si momentul centrat de ordinul 4.Nr.crt.Interval de variatie [Ron/luna]Frecventa absoluta (n )(Y ) [Ron/luna]( [Ron/luna] [(Ron/luna) ] [(Ron/luna) ]
(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.[750; 850)3800-20812979256153210882.[850; 950)4900-108466565441955843.[950; 1050)91000-8576368644.[1050; 1150)6110092507844298357765.[1150; 1250]3120019211059240768634886.Total25 338400106662528007.Simbol pentru total Momentul centrat de ordinul 2( varianta) are valoarea: (Ron/luna) ;Momentul centrat de ordinul 4 are valoarea: (Ron/luna) ;Rezulta: = = , ceea ce indica o distributie platykurtica. [Ron/luna] [Ron/luna][660; 760)[760; 860)[860; 960)[960; 1060)[1060; 1160]TotalSimbol total [Ron/luna] [Ron/luna] [Ron/luna] [Ron/luna][750; 850)3--------3 800240072001704000[850; 950)--4------4 9002700144002916000[950; 1050)--531--9 10009000810007790000[1050; 1150)------6--6 11006600399606666000[1150; 1250]--------33 12003600108003996000Total3937325 2430015336023072000Simbol pentru total [Ron/luna]71081091010101110 [Ron/luna]2130729027307070333022550
[Ron/luna]6390656108190494909990139670 [Ron/luna] 1704000696600027300007676000399600023072000 4. Tabelul nr.4.1. Valori intermediare utilizate pentru calculul parametrilor functiei de regresie Unde: ; Legatura dintre productivitatea muncii si veniturile salariale se realizeaza prin intermediul functiei de regresie: ; n tabelul nr.4.1. sunt prezentate valorile intermediare care conduc la determinarea parametrilor functiei de regresie. Aceasta functie pentru o distributie heterograda poate fi determinata conform formulei: